Os cidadãos de um determinado país estão em parte dentro das fronteiras do seu país e em parte espalhados pelo resto do mundo. O fluxo migratório desses cidadãos é modelado assim: a cada ano, 30 % dos que estão no país se mudam para o exterior, enquanto 35 % dos que estão no exterior retornam ao seu país. Mantendo-se esta tendência, qual será a percentagem dos cidadãos vivendo no país daqui a 30 anos? Assinale a abaixo a resposta que melhor aproxima esta percentagem.
Observações:
  • Nesta modelagem super-simplificada, não estão sendo considerados inúmeros outros fatores relevantes, como nascimentos, óbitos, naturalizações, dentre outros.
  • É interessante observar que a distribuição de longo prazo da população independe (praticamente) da distribuição inicial. Isto é uma característica de processos modelados por Cadeias de Markov (se tiver interesse, pesquise por este nome).
    (A) 55.8 %
    (B) 50.8 %
    © 52.8 %
    (D) 53.8 %
    (E) 54.8 %
    (F) 56.8 %
    (G) 51.8 %
    (H) 57.8 %
    (I) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um país onde parte dos cidadãos está dentro das fronteiras e parte está espalhada pelo mundo. A cada ano, 30% das pessoas que estão no país se mudam para o exterior, e 35% das que estão no exterior voltam para o país. Queremos descobrir qual será a porcentagem dos cidadãos vivendo no país daqui a 30 anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cadeias de Markov, que nos ajudam a modelar processos de mudança de estado ao longo do tempo.

Passo 2

Vamos chamar a porcentagem de cidadãos que vivem no país de . Assim, a porcentagem que está no exterior será .

Passo 3

A cada ano, 30% das pessoas que estão no país se mudam para o exterior. Então, a porcentagem que permanece no país é (já que ).

Passo 4

Também a cada ano, 35% das pessoas que estão no exterior voltam para o país. Como é a porcentagem no exterior, a quantidade que volta é .

Passo 5

No próximo ano, a nova porcentagem de pessoas no país será a soma do que ficou no país e do que voltou do exterior:
xnovo = 0,7x + 0,35(1 - x)

Passo 6

Para encontrar o valor de x = 0,7x + 0,35(1 - x) que não muda mais com o tempo (ou seja, no longo prazo), igualamos a :

Passo 7

Vamos resolver essa equação:
x = 0,7x + 0,35 - 0,35x
x = 0,35x + 0,35
x - 0,35x = 0,35
0,65x = 0,35
x = 0,350,65 approx 0,538
Convertendo para porcentagem:
x approx 53,8%

Resposta

A porcentagem dos cidadãos vivendo no país daqui a 30 anos será aproximadamente 53,8 %, opção (D).

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