Se possível, encontre a inversa da seguinte matriz:
[llll 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa de uma matriz. O enunciado nos deu a seguinte matriz:
[llll 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 2 ]
Estamos trabalhando com matrizes e precisamos usar o conceito de matriz inversa. A matriz inversa existe só se o determinante da matriz for diferente de zero. Vamos calcular o determinante e, se for possível, encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4. Para facilitar, podemos fazer algumas operações de linha para simplificar a matriz. Vamos subtrair 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
Nova quarta linha:
  • Elemento (4,1): 2 - 2×1 = 0
  • Elemento (4,2): 0 - 2×0 = 0
  • Elemento (4,3): 0 - 2×0 = 0
  • Elemento (4,4): 2 - 2×2 = -2
A matriz fica assim:
[llll 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 ]

Passo 3

Agora, o determinante dessa matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) é simplesmente o produto dos elementos da diagonal. Então:
det(A) = 1 times 1 times 1 times (-2) = -2
Como o determinante é diferente de zero, a matriz inversa existe!

Passo 4

Para encontrar a inversa, vamos usar o fato de que a matriz original ficou quase triangular após a operação de linha. A inversa de uma matriz triangular é fácil de calcular, pois basta inverter os elementos da diagonal e ajustar os demais termos.
A matriz inversa A^-1 = 1det(A) times adj(A) será:
Mas como nossa matriz é simples, podemos construir a inversa diretamente.

Passo 5

Observando a matriz original e a simplificada, percebemos que os termos fora da diagonal envolvem apenas o elemento (1,4) e (4,1). Para inverter, precisamos ajustar esses termos considerando o determinante.
A inversa fica assim:
A^-1 = [llll 1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 ]

Resposta

A matriz inversa é:
[llll 1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 ]

Exercícios relacionados

Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior.
[llll 1 & 3 & 9 & 7 2 & 3 & 2 & 5 0 & 3 & 4 & 1 4 & 6 & 9 & 1 ]
Seja T: M22 longrightarrow M22 uma transformação linear definida por T([lla & b c & d])=[lla & 0 0 & d]. Quais das seguintes matrizes pertencem a N(T) ?
[cc 1 & 2 -1 & 3 ],[ll 0 & 4 2 & 0 ],[cc -3 & 0 0 & -3 ]
Onde M22 é o espaço vetorial de matrizes 2 times 2.
Dado um triângulo A B C, sejam M, N, P os pontos médio dos segmentos A B, B C e C A respectivamente. Verifique as expressões abaixo são verdadeiras ou falsas.
I) A N=-A C2-B C2 square
Dado um triângulo A B C, sejam M, N, P os pontos médio dos segmentos A B, B C e C A respectivamente. Verifique as expressões abaixo são verdadeiras ou falsas.
II) C M=B C-A C F v