Dado um triângulo A B C, sejam M, N, P os pontos médio dos segmentos A B, B C e C A respectivamente. Verifique as expressões abaixo são verdadeiras ou falsas.
I) A N=-A C2-B C2 square

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um triângulo ABC e os pontos M, N, P são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente. A gente precisa verificar se a expressão A N = -A C2 - B C2 é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como posição de pontos médios e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A N. Esse vetor representa a posição do ponto N em relação ao ponto A. Como N é o ponto médio de BC, a posição de N pode ser expressa como a média dos pontos B e C.
Então, temos:
N = B + C2
Agora, para encontrar A N, usamos:
A N = N - A = B + C2 - A

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de A N:
A N = B + C2 - A = -A + B2 + C2
Agora, vamos analisar a expressão que queremos verificar:
-A C2 - B C2
Sabemos que:
A C = C - A
B C = C - B
Substituindo na expressão:
-C - A2 - C - B2 = -C2 + A2 - C2 + B2 = A2 + B2 - C

Passo 4

Comparando as duas expressões:
A expressão que obtivemos para A N:
-A + B2 + C2
E a expressão fornecida:
A2 + B2 - C
Claramente, elas não são iguais. Portanto, a expressão fornecida não coincide com o que encontramos para A N.

Resposta

A expressão A N = -A C2 - B C2 é falsa.

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