Calcule o determinante da matriz A, sendo:
A=[rrrr1 & 2 & 3 & 4 2 & 0 & 0 & 5 6 & 0 & 3 & 0 1 & 0 & 0 & -4]

Passo 1

Então, temos uma matriz A de ordem 4 times 4 e precisamos calcular o determinante dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de matrizes, que é uma medida que nos permite entender propriedades importantes da matriz, como se ela é invertível. Vamos precisar usar a regra de Laplace, que nos ajuda a expandir o determinante escolhendo uma linha ou coluna com mais zeros para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz A:
A = 1 & 2 & 3 & 4 2 & 0 & 0 & 5 6 & 0 & 3 & 0 1 & 0 & 0 & -4
Notamos que a segunda coluna tem mais zeros, o que vai facilitar nossa expansão pelo cofator.

Passo 3

Vamos expandir o determinante da matriz A pela segunda coluna. A fórmula da expansão pelo cofator para a coluna j é:
det(A) = sumi=1^n (-1)^i+j cdot ai j cdot Mi j
onde Mi j é o menor complementar do elemento ai j.

Passo 4

Como a segunda coluna tem três zeros (nosterceira, quarta e quinta linhas), apenas o elemento a1 2 = 2 contribui para o determinante. Então, simplificamos:
det(A) = (-1)^1+2 cdot 2 cdot M1 2 = -2 cdot M1 2

Passo 5

Agora, vamos calcular o menor complementar M1 2. Para isso, removemos a primeira linha e a segunda coluna da matriz A:
M1 2 = det( 2 & 0 & 5 6 & 3 & 0 1 & 0 & -4 )

Passo 6

Para calcular M1 2, podemos expandir o determinante dessa matriz 3 times 3. Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão pelo cofator novamente. Optaremos pela regra de Sarrus:
M1 2 = 2 cdot 3 cdot (-4) + 0 cdot 0 cdot 1 + 5 cdot 6 cdot 0 - 5 cdot 3 cdot 1 - 0 cdot 0 cdot 2 - (-4) cdot 6 cdot 0
Simplificando cada termo:
M1 2 = (2 cdot 3 cdot -4) + (0) + (0) - (15) - (0) - (0) = (-24) - 15 = -39

Passo 7

Agora, substituímos M1 2 de volta na expressão do determinante de A:
det(A) = -2 cdot (-39) = 78

Resposta

O determinante da matriz A é 78.

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