(MACK-SP) A solução da equação |z|+z-18+6 i=0 é um complexo z de módulo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação envolvendo números complexos! O enunciado é . Aqui, é um número complexo e representa o módulo de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, especialmente sobre como lidar com a parte real e imaginária, além de entender o que é o módulo de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar z = 18 - 6i - |z| :
a + bi = 18 - 6i - |z|
Agora, sabemos que pode ser escrito na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. Então, temos:

Passo 3

Comparando as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
a = 18 - |z|
b = -6
Portanto, a parte imaginária de é .

Passo 4

Sabemos que o módulo de |z| = raiza^2 + b^2 é dado por:
|z| = raiza^2 + (-6)^2 = raiza^2 + 36
Substituindo :

Passo 5

Voltando à equação |z| = raiz(18 - |z|)^2 + 36 , substituímos na expressão do módulo:
Agora, vamos resolver essa equação para .

Passo 6

Expanda o quadrado:
|z| = raiz(18)^2 - 2 cdot 18 cdot |z| + |z|^2 + 36
|z| = raiz324 - 36|z| + |z|^2 + 36
|z| = raiz|z|^2 - 36|z| + 360

Passo 7

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
|z|^2 = |z|^2 - 36|z| + 360
Subtraindo 0 = -36|z| + 360 de ambos os lados:
36|z| = 360
|z| = 36036 = 10

Resposta

O módulo de é .

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