Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada A = 2 & 1 & 2 & -4 2 & -1 & 0 & 5 10 & -5 & 1 & 7 -1 & 2 & -1 & 1 de ordem 4:
Nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz. Para isso, vamos usar o método de expansão por cofatores, que é uma técnica para encontrar determinantes de matrizes maiores resolvendo progressivamente matrizes menores.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para expandir. Geralmente, é mais fácil escolher a linha ou coluna com mais zeros para simplificar os cálculos, mas nesse caso, vamos escolher a primeira linha para começar.
A primeira linha é:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula de expansão por cofatores:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
onde é o elemento da matriz na posição e é o cofre correspondente.
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
Para C11 = (-1)^1+1 times det -1 & 0 & 5 -5 & 1 & 7 2 & -1 & 1 :
C11 = 1 times det -1 & 0 & 5 -5 & 1 & 7 2 & -1 & 1
C12 = (-1)^1+2 times det 2 & 0 & 5 10 & 1 & 7 -1 & -1 & 1
Para C12 = -1 times det 2 & 0 & 5 10 & 1 & 7 -1 & -1 & 1 :
C13 = (-1)^1+3 times det 2 & -1 & 5 10 & -5 & 7 -1 & 2 & 1
C13 = 1 times det 2 & -1 & 5 10 & -5 & 7 -1 & 2 & 1
Para C14 = (-1)^1+4 times det 2 & -1 & 0 10 & -5 & 1 -1 & 2 & -1 :
C14 = -1 times det 2 & -1 & 0 10 & -5 & 1 -1 & 2 & -1
Para :
Passo 5
Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes 3x3 que apareceram:
Calculando -1 & 0 & 5 -5 & 1 & 7 2 & -1 & 1 :
= -1 times (1 times 1 - 7 times (-1)) - 0 + 5 times (-5 times (-1) - 1 times 2)
= -1 times (1 + 7) + 5 times (5 - 2)
= -8 + 15 = 7
Calculando 2 & 0 & 5 10 & 1 & 7 -1 & -1 & 1 :
= 2 times (1 times 1 - 7 times (-1)) - 0 + 5 times (10 times (-1) - 1 times (-1))
= 2 times (1 + 7) + 5 times (-10 + 1)
= 16 + 5 times (-9) = 16 - 45 = -29
Calculando 2 & -1 & 5 10 & -5 & 7 -1 & 2 & 1 :
= 2 times (-5 times 1 - 7 times 2) - (-1) times (10 times 1 - 7 times (-1)) + 5 times (10 times 2 - (-5) times (-1))
= 2 times (-5 - 14) + 1 times (10 + 7) + 5 times (20 - 5)
= 2 times (-19) + 17 + 5 times 15
= -38 + 17 + 75 = 54
Calculando 2 & -1 & 0 10 & -5 & 1 -1 & 2 & -1 :
= 2 times (-5 times (-1) - 1 times 2) - (-1) times (10 times (-1) - 1 times (-1)) + 0
= 2 times (5 - 2) + 1 times (-10 + 1)
= 2 times 3 + (-9) = 6 - 9 = -3
Passo 6
Agora, substituímos os valores encontrados de volta na fórmula inicial:
det(A) = 2 times 7 + 1 times (-29) + 2 times 54 + (-4) times (-3)