Uma hipérbole tem centro na origem, eixo focal paralelo ao eixo y e segmento transverso de comprimento 2 a=96. Se sua corda principal tem comprimento de, então a equação dessa hipérbole é.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre hipérboles. O enunciado nos dá informações sobre o centro, o eixo focal e os comprimentos do segmento transverso e da corda principal. Para resolver, vamos precisar das fórmulas da equação da hipérbole e da relação entre os elementos dados.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a hipérbole tem centro na origem e o eixo focal paralelo ao eixo y^2a^2 - x^2b^2 = 1 . Isso significa que a equação da hipérbole terá a forma:
onde é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo , e está relacionado à largura da hipérbole.

Passo 3

O enunciado diz que o segmento transverso tem comprimento a = 962 = 48 . Para encontrar , dividimos por 2:

Passo 4

A corda principal tem comprimento . Na hipérbole, a corda principal corresponde ao comprimento da semilatus retório, que é dado por . Vamos usar essa relação para encontrar .

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos na fórmula da corda principal:
54 = 2b^248
Multiplicamos ambos os lados por 48:
54 times 48 = 2b^2
2592 = 2b^2
Dividimos por 2:
b^2 = 25922 = 1296
Então,
b = raiz1296 = 36

Passo 6

Agora que temos y^248^2 - x^236^2 = 1 e y^22304 - x^21296 = 1 , podemos substituir esses valores na equação da hipérbole:
Calculando os quadrados:

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^22304 - x^21296 = 1

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