Calcule o determinante: o determinante da matriz

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de matemática onde precisamos calcular o determinante de uma matriz 4x4. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre determinantes de matrizes. Para isso, vamos precisar aplicar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace para matrizes maiores, além de realizar operações de linha para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada (como a nossa matriz 4x4) é um valor que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes 4x4, uma maneira eficiente de calcular o determinante é expandindo por cofatores, ou seja, escolhendo uma linha ou coluna e aplicando uma soma que envolve menores e sinais alternados.

Passo 3

Vamos escolher a primeira linha da matriz para expandir, pois pode facilitar os cálculos. A matriz dada é:

Passo 4

A fórmula para o determinante usando cofatores na primeira linha é:
Onde são os elementos da primeira linha e são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Vamos encontrar cada cofator . O cofator é calculado por:
Onde é o menor da matriz, ou seja, a matriz que sobra quando removemos a primeira linha e a j-ésima coluna.

Passo 6

Calculando os menores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, calculamos os determinantes desses menores 3x3 usando a regra de Sarrus:
  • Determinante de :
  • Determinante de :
  • Determinante de :
  • Determinante de :

Passo 8

Agora, aplicamos os sinais alternados aos menores para obter os cofatores:

Passo 9

Finalmente, calculamos o determinante da matriz T usando os cofatores e os elementos da primeira linha:

Resposta

O determinante da matriz é .

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