Beleza, vamos resolver um exercício de matemática onde precisamos calcular o determinante de uma matriz 4x4. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre determinantes de matrizes. Para isso, vamos precisar aplicar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace para matrizes maiores, além de realizar operações de linha para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada (como a nossa matriz 4x4) é um valor que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes 4x4, uma maneira eficiente de calcular o determinante é expandindo por cofatores, ou seja, escolhendo uma linha ou coluna e aplicando uma soma que envolve menores e sinais alternados.
Passo 3
Vamos escolher a primeira linha da matriz para expandir, pois pode facilitar os cálculos. A matriz dada é:
Passo 4
A fórmula para o determinante usando cofatores na primeira linha é:
Onde são os elementos da primeira linha e são os cofatores correspondentes.
Passo 5
Vamos encontrar cada cofator . O cofator é calculado por:
Onde é o menor da matriz, ou seja, a matriz que sobra quando removemos a primeira linha e a j-ésima coluna.
Passo 6
Calculando os menores:
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Agora, calculamos os determinantes desses menores 3x3 usando a regra de Sarrus:
Determinante de :
Determinante de :
Determinante de :
Determinante de :
Passo 8
Agora, aplicamos os sinais alternados aos menores para obter os cofatores:
Passo 9
Finalmente, calculamos o determinante da matriz T usando os cofatores e os elementos da primeira linha: