Calcule o determinante: o determinante da matriz T=[cccc1 & 2 & 3 & 1 0 & 2 & 8 & -2 1 & 4 & 4 & 1 4 & 2 & 9 & 7]4 times 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de matemática onde precisamos calcular o determinante de uma matriz 4x4. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre determinantes de matrizes. Para isso, vamos precisar aplicar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace para matrizes maiores, além de realizar operações de linha para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada (como a nossa matriz 4x4) é um valor que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes 4x4, uma maneira eficiente de calcular o determinante é expandindo por cofatores, ou seja, escolhendo uma linha ou coluna e aplicando uma soma que envolve menores e sinais alternados.

Passo 3

Vamos escolher a primeira linha da matriz para expandir, pois pode facilitar os cálculos. A matriz dada é:
T = 1 & 2 & 3 & 1 0 & 2 & 8 & -2 1 & 4 & 4 & 1 4 & 2 & 9 & 7

Passo 4

A fórmula para o determinante usando cofatores na primeira linha é:
det(T) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Onde são os elementos da primeira linha e são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Vamos encontrar cada cofator C1j = (-1)^1+j cdot M1j . O cofator é calculado por:
Onde é o menor da matriz, ou seja, a matriz que sobra quando removemos a primeira linha e a j-ésima coluna.

Passo 6

Calculando os menores:
  • Para M11 = 2 & 8 & -2 4 & 4 & 1 2 & 9 & 7 :
M12 = 0 & 8 & -2 1 & 4 & 1 4 & 9 & 7
  • Para M13 = 0 & 2 & -2 1 & 4 & 1 4 & 2 & 7 :
M14 = 0 & 2 & 8 1 & 4 & 4 4 & 2 & 9
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, calculamos os determinantes desses menores 3x3 usando a regra de Sarrus:
  • Determinante de det(M11) = 2(4 cdot 7 - 1 cdot 9) - 8(4 cdot 7 - 1 cdot 2) + (-2)(4 cdot 9 - 4 cdot 2) :
= 2(28 - 9) - 8(28 - 2) - 2(36 - 8)
= 2(19) - 8(26) - 2(28)
= 38 - 208 - 56
= -226
det(M12) = 0(4 cdot 7 - 1 cdot 9) - 8(1 cdot 7 - 1 cdot 4) + (-2)(1 cdot 9 - 4 cdot 4)
  • Determinante de = 0 - 8(7 - 4) - 2(9 - 16) :
= 0 - 8(3) - 2(-7)
= 0 - 24 + 14
= -10
det(M13) = 0(4 cdot 7 - 1 cdot 2) - 2(1 cdot 7 - 1 cdot 4) + (-2)(1 cdot 2 - 4 cdot 4)
= 0 - 2(7 - 4) - 2(2 - 16)
  • Determinante de = 0 - 2(3) - 2(-14) :
= 0 - 6 + 28
= 22
det(M14) = 0(4 cdot 9 - 4 cdot 2) - 2(1 cdot 9 - 4 cdot 4) + 8(1 cdot 2 - 4 cdot 2)
= 0 - 2(9 - 16) + 8(2 - 8)
= 0 - 2(-7) + 8(-6)
  • Determinante de = 0 + 14 - 48 :
= -34

Passo 8

Agora, aplicamos os sinais alternados aos menores para obter os cofatores:

Passo 9

Finalmente, calculamos o determinante da matriz T usando os cofatores e os elementos da primeira linha:
det(T) = 1 cdot (-226) + 2 cdot 10 + 3 cdot 22 + 1 cdot 34
= -226 + 20 + 66 + 34
= -226 + 120
= -106

Resposta

O determinante da matriz é .

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