Mostre que o conjunto
não é subespaços de
. E o conjunto
? É ou não subespaços de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes
e
dentro do espaço das matrizes
. A questão quer saber se esses conjuntos são subespaços desse espaço maior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como as propriedades como determinante e operações com matrizes funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero.
- Fechado para adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
- Fechado para multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, o conjunto não é um subespaço.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
.
1. Contém o vetor zero?
- A matriz zero tem determinante zero, então
contém o vetor zero.
2. Fechado para adição?
- Vamos pegar duas matrizes
e em , ou seja, e . - Mas, em geral,
não é igual a . Por exemplo, se e são matrizes que anulam o determinante individualmente, a soma pode ter determinante diferente de zero. - Exemplo: Considere
e como matrizes com determinante zero, mas pode ter determinante não zero.
3. Fechado para multiplicação por escalar?
- Se você multiplicar uma matriz
de por um escalar , o determinante de é , já que . - Então, nessa condição,
estaria fechado para multiplicação por escalar.
Conclusão para
:
- Apesar de
conter o vetor zero e ser fechado para multiplicação por escalar, não é fechado para adição. Portanto, não é um subespaço de .
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto
.
1. Contém o vetor zero?
- A matriz zero tem determinante zero, então não está em
.
2. Fechado para adição?
- Mesmo que duas matrizes em
tenham determinantes diferentes de zero, a soma delas pode ter determinante zero. Portanto, não é fechado para adição.
3. Fechado para multiplicação por escalar?
- Se você multiplicar uma matriz
de por zero, o resultado é a matriz zero, que não está em . Então, não é fechado para multiplicação por escalar.
Conclusão para
:
-
não contém o vetor zero, não é fechado para adição nem para multiplicação por escalar. Portanto, não é um subespaço de .
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não é fechado para adição. Já o conjunto
também não é um subespaço, pois não contém a matriz zero e não é fechado nem para adição nem para multiplicação por escalar.