Mostre que o conjunto não é subespaços de . E o conjunto ? É ou não subespaços de ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes e dentro do espaço das matrizes . A questão quer saber se esses conjuntos são subespaços desse espaço maior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como as propriedades como determinante e operações com matrizes funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero.
Fechado para adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
Fechado para multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, o conjunto não é um subespaço.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto .
1. Contém o vetor zero?
A matriz zero tem determinante zero, então contém o vetor zero.
2. Fechado para adição?
Vamos pegar duas matrizes e em , ou seja, e .
Mas, em geral, não é igual a . Por exemplo, se e são matrizes que anulam o determinante individualmente, a soma pode ter determinante diferente de zero.
Exemplo: Considere e como matrizes com determinante zero, mas pode ter determinante não zero.
3. Fechado para multiplicação por escalar?
Se você multiplicar uma matriz de por um escalar , o determinante de é , já que .
Então, nessa condição, estaria fechado para multiplicação por escalar.
Conclusão para :
Apesar de conter o vetor zero e ser fechado para multiplicação por escalar, não é fechado para adição. Portanto, não é um subespaço de .
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto .
1. Contém o vetor zero?
A matriz zero tem determinante zero, então não está em .
2. Fechado para adição?
Mesmo que duas matrizes em tenham determinantes diferentes de zero, a soma delas pode ter determinante zero. Portanto, não é fechado para adição.
3. Fechado para multiplicação por escalar?
Se você multiplicar uma matriz de por zero, o resultado é a matriz zero, que não está em . Então, não é fechado para multiplicação por escalar.
Conclusão para :
não contém o vetor zero, não é fechado para adição nem para multiplicação por escalar. Portanto, não é um subespaço de .
Resposta
O conjunto não é um subespaço de porque não é fechado para adição. Já o conjunto também não é um subespaço, pois não contém a matriz zero e não é fechado nem para adição nem para multiplicação por escalar.