Mostre que o conjunto não é subespaços de . E o conjunto ? É ou não subespaços de ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes e dentro do espaço das matrizes . A questão quer saber se esses conjuntos são subespaços desse espaço maior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como as propriedades como determinante e operações com matrizes funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero.
  2. Fechado para adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, o conjunto não é um subespaço.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto .
1. Contém o vetor zero?
  • A matriz zero tem determinante zero, então contém o vetor zero.
2. Fechado para adição?
  • Vamos pegar duas matrizes e em , ou seja, e .
  • Mas, em geral, não é igual a . Por exemplo, se e são matrizes que anulam o determinante individualmente, a soma pode ter determinante diferente de zero.
  • Exemplo: Considere e como matrizes com determinante zero, mas pode ter determinante não zero.
3. Fechado para multiplicação por escalar?
  • Se você multiplicar uma matriz de por um escalar , o determinante de é , já que .
  • Então, nessa condição, estaria fechado para multiplicação por escalar.
Conclusão para :
  • Apesar de conter o vetor zero e ser fechado para multiplicação por escalar, não é fechado para adição. Portanto, não é um subespaço de .

Passo 4

Agora, vamos analisar o conjunto .
1. Contém o vetor zero?
  • A matriz zero tem determinante zero, então não está em .
2. Fechado para adição?
  • Mesmo que duas matrizes em tenham determinantes diferentes de zero, a soma delas pode ter determinante zero. Portanto, não é fechado para adição.
3. Fechado para multiplicação por escalar?
  • Se você multiplicar uma matriz de por zero, o resultado é a matriz zero, que não está em . Então, não é fechado para multiplicação por escalar.
Conclusão para :
  • não contém o vetor zero, não é fechado para adição nem para multiplicação por escalar. Portanto, não é um subespaço de .

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque não é fechado para adição. Já o conjunto também não é um subespaço, pois não contém a matriz zero e não é fechado nem para adição nem para multiplicação por escalar.

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