Calcule o determinante da matriz usando operações elementares ou por cofatores.
(b) [rrr3 & -6 & 9 -2 & 7 & -2 0 & 1 & 5]

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz 3x3 e precisamos descobrir o determinante dela. O determinante é um número que nos ajuda a entender algumas propriedades da matriz, como se ela pode ser invertida ou não. Para isso, podemos usar operações elementares de linha ou a técnica de cofatores. Vou explicar usando a expansão por cofatores, que é bem direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3 usando os cofatores. Se tivermos uma matriz:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante de |A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , representado por , é calculado assim:
Isso significa que a gente pega cada elemento da primeira linha, multiplica pelo determinante da submatriz que sobra tirando a linha e a coluna desse elemento, e alterna os sinais.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa matriz específica:
3 & -6 & 9 -2 & 7 & -2 0 & 1 & 5
Identificamos os elementos da primeira linha: 3, -6 e 9.
Agora, vamos calcular os menores (determinantes das submatrizes) para cada um desses elementos.
  1. Para o 3: Tiramos a primeira linha e a primeira coluna, sobrando:
7 & -2 1 & 5
O determinante dessa submatriz é -2 & -2 0 & 5 .
  1. Para o -6: Tiramos a primeira linha e a segunda coluna, sobrando:
-2 & 7 0 & 1
O determinante dessa submatriz é .
  1. Para o 9: Tiramos a primeira linha e a terceira coluna, sobrando:
O determinante dessa submatriz é .

Passo 4

Agora, vamos colocar tudo junto na fórmula do determinante:
|A| = 3 times 37 - (-6) times (-10) + 9 times (-2)
Calculando cada termo:
  • (porque dois sinais negativos dão positivo)

Resposta

Somando tudo: .
Então, o determinante da matriz é 33.

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