Calcule o determinante da matriz usando operações elementares ou por cofatores.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz 3x3 e precisamos descobrir o determinante dela. O determinante é um número que nos ajuda a entender algumas propriedades da matriz, como se ela pode ser invertida ou não. Para isso, podemos usar operações elementares de linha ou a técnica de cofatores. Vou explicar usando a expansão por cofatores, que é bem direta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3 usando os cofatores. Se tivermos uma matriz:
O determinante de , representado por , é calculado assim:
Isso significa que a gente pega cada elemento da primeira linha, multiplica pelo determinante da submatriz que sobra tirando a linha e a coluna desse elemento, e alterna os sinais.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa matriz específica:
Identificamos os elementos da primeira linha: 3, -6 e 9.
Agora, vamos calcular os menores (determinantes das submatrizes) para cada um desses elementos.
Para o 3: Tiramos a primeira linha e a primeira coluna, sobrando:
O determinante dessa submatriz é .
Para o -6: Tiramos a primeira linha e a segunda coluna, sobrando:
O determinante dessa submatriz é .
Para o 9: Tiramos a primeira linha e a terceira coluna, sobrando:
O determinante dessa submatriz é .
Passo 4
Agora, vamos colocar tudo junto na fórmula do determinante: