Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
e) Seu, v, w é L D, então u, v tanto pode ser LD como LI.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. A questão pergunta se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa: “Se o conjunto u, v, w é linearmente dependente (LD), então o subconjunto u, v pode ser tanto LD quanto linearmente independente (LI).” Para responder, vamos precisar dos conceitos de dependência e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa um conjunto ser linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Caso contrário, é linearmente independente.

Passo 3

Sabemos que se um conjunto tem mais vetores do que a dimensão do espaço, ele é automaticamente linearmente dependente. Mas aqui estamos falando de qualquer situação onde u, v, w é LD.

Passo 4

Agora, se u, v, w é LD, isso significa que existe uma relação entre esses vetores que os torna dependentes. Porém, isso não necessariamente impõe uma condição específica sobre o subconjunto u, v. O subconjunto pode ser tanto LD quanto LI, dependendo dos vetores individuais.

Passo 5

Por exemplo, considere três vetores no R^2: u = (1,0), v = (0,1) e w = (1,1). O conjunto u, v, w é LD porque w = u + v. Mas o subconjunto u, v é LI, já que nenhum dos vetores é múltiplo do outro.

Passo 6

Por outro lado, se escolhermos u = (1,0), v = (2,0) e w = (3,0), então u, v, w é LD, e também o subconjunto u, v é LD, pois v = 2u.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se u, v, w é linearmente dependente, então o subconjunto u, v pode ser tanto linearmente dependente quanto linearmente independente.

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