Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
e) é , então tanto pode ser LD como LI.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. A questão pergunta se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa: “Se o conjunto é linearmente dependente (LD), então o subconjunto pode ser tanto LD quanto linearmente independente (LI).” Para responder, vamos precisar dos conceitos de dependência e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa um conjunto ser linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Caso contrário, é linearmente independente.
Passo 3
Sabemos que se um conjunto tem mais vetores do que a dimensão do espaço, ele é automaticamente linearmente dependente. Mas aqui estamos falando de qualquer situação onde é LD.
Passo 4
Agora, se é LD, isso significa que existe uma relação entre esses vetores que os torna dependentes. Porém, isso não necessariamente impõe uma condição específica sobre o subconjunto . O subconjunto pode ser tanto LD quanto LI, dependendo dos vetores individuais.
Passo 5
Por exemplo, considere três vetores no : , e . O conjunto é LD porque . Mas o subconjunto é LI, já que nenhum dos vetores é múltiplo do outro.
Passo 6
Por outro lado, se escolhermos , e , então é LD, e também o subconjunto é LD, pois .
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se é linearmente dependente, então o subconjunto pode ser tanto linearmente dependente quanto linearmente independente.