Determine a inversa das seguintes matrizes usando operações elementares.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a matriz inversa usando operações elementares. O conteúdo que vamos utilizar envolve matrizes, operações elementares e a determinação da inversa. Para isso, precisamos saber como aplicar operações de linha para transformar a matriz original na matriz identidade, e aplicar as mesmas operações na identidade para obter a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original e a matriz identidade lado a lado, formando uma matriz aumentada :
Passo 3
Nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada na matriz identidade usando operações elementares (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra). Vamos começar criando um 1 na posição (1,1).
Como o elemento (1,1) é 0, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para trazer um 1 para essa posição:
Passo 4
Agora, queremos que abaixo do 1 na posição (1,1) haja zeros. Vamos eliminar o -1 na posição (3,1). Para isso, adicionamos a primeira linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 1:
Passo 5
Agora, focamos na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2), mas atualmente essa posição é 0. Vamos trocar a segunda linha com a terceira linha para trazer um elemento não zero para a posição (2,2):
Passo 6
Vamos agora transformar o 2 na posição (2,2) em 1, dividindo a segunda linha por 2:
Linha 2 = Linha 2 / 2:
Passo 7
Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na posição (2,2). Primeiro, subtraímos a segunda linha da primeira linha para eliminar o 1 na posição (1,2):
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2:
Passo 8
Por fim, eliminamos o 0.5 na posição (2,3) subtraindo metade da terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 0.5 * Linha 3:
E eliminamos o -0.5 na posição (1,3) adicionando metade da terceira linha à primeira linha: