Determine a inversa das seguintes matrizes usando operações elementares.
(b) [ccc0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a matriz inversa usando operações elementares. O conteúdo que vamos utilizar envolve matrizes, operações elementares e a determinação da inversa. Para isso, precisamos saber como aplicar operações de linha para transformar a matriz original na matriz identidade, e aplicar as mesmas operações na identidade para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original A e a matriz identidade I lado a lado, formando uma matriz aumentada [A | I]:
[ccc|ccc 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada na matriz identidade usando operações elementares (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra). Vamos começar criando um 1 na posição (1,1).
Como o elemento (1,1) é 0, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para trazer um 1 para essa posição:
[ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, queremos que abaixo do 1 na posição (1,1) haja zeros. Vamos eliminar o -1 na posição (3,1). Para isso, adicionamos a primeira linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 1:
[ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 ]

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2), mas atualmente essa posição é 0. Vamos trocar a segunda linha com a terceira linha para trazer um elemento não zero para a posição (2,2):
[ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 ]

Passo 6

Vamos agora transformar o 2 na posição (2,2) em 1, dividindo a segunda linha por 2:
Linha 2 = Linha 2 / 2:
[ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0.5 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 ]

Passo 7

Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na posição (2,2). Primeiro, subtraímos a segunda linha da primeira linha para eliminar o 1 na posição (1,2):
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2:
[ccc|ccc 1 & 0 & -0.5 & 0 & 0.5 & -0.5 0 & 1 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0.5 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 ]

Passo 8

Por fim, eliminamos o 0.5 na posição (2,3) subtraindo metade da terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 0.5 * Linha 3:
[ccc|ccc 1 & 0 & -0.5 & 0 & 0.5 & -0.5 0 & 1 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0.5 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 ]
E eliminamos o -0.5 na posição (1,3) adicionando metade da terceira linha à primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + 0.5 * Linha 3:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & -0.5 0 & 1 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0.5 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 ]

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = [ccc 0.5 & 0.5 & -0.5 -0.5 & 0.5 & 0.5 1 & 0 & 0 ]

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