Determine a inversa das seguintes matrizes usando operações elementares.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a matriz inversa usando operações elementares. O conteúdo que vamos utilizar envolve matrizes, operações elementares e a determinação da inversa. Para isso, precisamos saber como aplicar operações de linha para transformar a matriz original na matriz identidade, e aplicar as mesmas operações na identidade para obter a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original A e a matriz identidade I lado a lado, formando uma matriz aumentada [A | I]:
Nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada na matriz identidade usando operações elementares (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra). Vamos começar criando um 1 na posição (1,1).
Como o elemento (1,1) é 0, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para trazer um 1 para essa posição:
Agora, queremos que abaixo do 1 na posição (1,1) haja zeros. Vamos eliminar o -1 na posição (3,1). Para isso, adicionamos a primeira linha à terceira linha:
Agora, focamos na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2), mas atualmente essa posição é 0. Vamos trocar a segunda linha com a terceira linha para trazer um elemento não zero para a posição (2,2):
Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na posição (2,2). Primeiro, subtraímos a segunda linha da primeira linha para eliminar o 1 na posição (1,2):