Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) é é LD .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. O enunciado está no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência linear de conjuntos de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente (LD) e o que acontece com subconjuntos desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre dependência linear. Um conjunto de vetores é considerado linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação onde alguns coeficientes não todos zero fazem a combinação dos vetores resultar no vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação:
Isso quer dizer que se o conjunto com três vetores é linearmente dependente, então o subconjunto com dois desses vetores também é linearmente dependente.
Passo 4
Vamos pensar em um exemplo concreto. Imagine que no espaço tridimensional (), temos três vetores , , e que são linearmente dependentes. Isso significa que um deles pode ser escrito como uma combinação dos outros dois.
Porém, se pegarmos apenas dois deles, digamos e , não há garantia de que seja múltiplo de ou vice-versa. Eles podem ser linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 5
Portanto, ter um conjunto de três vetores linearmente dependentes não implica necessariamente que qualquer subconjunto com dois vetores seja também linearmente dependente. É possível que dentro do conjunto original, apenas a terceira combinação traga a dependência, enquanto os dois primeiros sejam independentes.
Resposta
Falso. Um conjunto de três vetores ser linearmente dependente não garante que quaisquer dois deles também sejam dependentes linearmente.