Calcule o determinante da matriz usando operações elementares ou por cofatores.
© [llll2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o determinante de uma matriz 4x4, usando operações elementares ou a regra de cofatores. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular determinantes e aplicar a regra de cofatores.

Passo 2

Vamos optar por usar a regra de cofatores para calcular o determinante dessa matriz. A regra de cofatores envolve expandir o determinante ao longo de uma linha ou coluna, calculando menores e seus respectivos sinais.

Passo 3

Escolhi expandir pelo primeira linha para simplificar os cálculos. A primeira linha da matriz é: [2, 1, 3, 1].

Passo 4

Para cada elemento da primeira linha, calculamos o menor correspondente, que é o determinante da matriz 3x3 que sobra quando removemos a linha e a coluna desse elemento. Também aplicamos um sinal alternado começando com positivo.

Passo 5

Calculando os cofatores:
  • Para o elemento 2 (posição (1,1)):
    O menor é:
    0 & 1 & 1 2 & 1 & 0 1 & 2 & 3
    Determinante: 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3
    Cofator: 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 0 & 1 & 3
  • Para o elemento 1 (posição (1,2)):
    O menor é:
    1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2
    Determinante:
    Cofator:
  • Para o elemento 3 (posição (1,3)):
    O menor é:
    Determinante:
    Cofator:
  • Para o elemento 1 (posição (1,4)):
    O menor é:
    Determinante:
    Cofator:

Passo 6

Agora, multiplicamos cada elemento da primeira linha pelo seu cofator e somamos os resultados:
Determinante = 2 times (-3) + 1 times (-3) + 3 times 6 + 1 times (-3) = -6 -3 + 18 -3 = 6

Resposta

O determinante da matriz é 6.

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