Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
f) Seu, v é LI, então u, v, w tanto pode ser LD como LI.
23. Dados a=2 u+4 v+w, b=-u+1 / 2 v+3 / 4 w e c=v+1 / 2 w. Prove que a, b, c é LD, quaisquer que sejam u, v e w.
24. Determine a e b, sabendo que u, v é LI e que (a-1) u+b v=b u-(a+b) v.
25. Suponha que u, v, w seja LI. Dado x, existem alpha, beta e gamma tais que x=alpha u+beta v+gamma w (Proposição 6-8, referância 2). Prove: u+x, v+x, w+x é LI Leftrightarrow alpha+beta+gamma+1 neq 0.
26. Em uma roleta de centro O, o preto 17 ocupa a posição P. Após um giro de 7 pi / 5 radianos, passa a ocupar a posição Q. Qual é a medida angular em radianos entre O P e O Q ?
27. Os vetores não-nulos u e v são ortogonais, têm normas iguais, e w é gerado por eles. Sabendo que w cdot u=w cdot v e que w não é nulo, obtenha as medidas angulares, em graus, entre u e w e entre v e w.
28. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) u cdot u=0 Leftrightarrow u=0

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está perguntando. Temos dois conjuntos de vetores:
  • u, v é linearmente independente (LI).
  • Queremos saber se, ao adicionar um terceiro vetor w, o novo conjunto u, v, w pode ser tanto linearmente dependente (LD) quanto linearmente independente (LI).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e como a adição de um novo vetor afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, para u, v ser LI, se au + bv = 0, então necessariamente a = 0 e b = 0.

Passo 3

Agora, ao adicionar um terceiro vetor w, queremos ver se o novo conjunto u, v, w pode ser tanto LI quanto LD.
Primeiro, para que u, v, w seja LI, w não deve ser uma combinação linear de u e v. Isso significa que não existe nenhum par de escalares a e b tais que w = au + bv. Se esse for o caso, o conjunto permanece LI.

Passo 4

Por outro lado, para que u, v, w seja LD, w precisa ser uma combinação linear de u e v. Ou seja, existe pelo menos um par de escalares a e b tal que w = au + bv. Nesse caso, uma das três condições sempre pode ser escrita como uma combinação das outras duas, tornando o conjunto LD.

Passo 5

Portanto, dependendo da escolha de w, o conjunto u, v, w pode ser tanto LI quanto LD. Se w for independente de u e v, o conjunto será LI. Se w puder ser escrito como uma combinação linear de u e v, o conjunto será LD.

Resposta

Verdadeiro. Se u, v é linearmente independente, ao adicionar w, o conjunto u, v, w pode ser tanto linearmente independente quanto dependente, dependendo de w.

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