Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
f) é LI, então tanto pode ser LD como LI.
23. Dados e . Prove que é LD, quaisquer que sejam e w.
24. Determine e , sabendo que é LI e que .
25. Suponha que seja LI. Dado , existem e tais que (Proposição 6-8, referância 2). Prove: é .
26. Em uma roleta de centro , o preto 17 ocupa a posição . Após um giro de radianos, passa a ocupar a posição . Qual é a medida angular em radianos entre e ?
27. Os vetores não-nulos e são ortogonais, têm normas iguais, e w é gerado por eles. Sabendo que e que não é nulo, obtenha as medidas angulares, em graus, entre e w e entre e w.
28. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está perguntando. Temos dois conjuntos de vetores:
é linearmente independente (LI).
Queremos saber se, ao adicionar um terceiro vetor , o novo conjunto pode ser tanto linearmente dependente (LD) quanto linearmente independente (LI).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e como a adição de um novo vetor afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, para ser LI, se , então necessariamente e .
Passo 3
Agora, ao adicionar um terceiro vetor , queremos ver se o novo conjunto pode ser tanto LI quanto LD.
Primeiro, para que seja LI, não deve ser uma combinação linear de e . Isso significa que não existe nenhum par de escalares e tais que . Se esse for o caso, o conjunto permanece LI.
Passo 4
Por outro lado, para que seja LD, precisa ser uma combinação linear de e . Ou seja, existe pelo menos um par de escalares e tal que . Nesse caso, uma das três condições sempre pode ser escrita como uma combinação das outras duas, tornando o conjunto LD.
Passo 5
Portanto, dependendo da escolha de , o conjunto pode ser tanto LI quanto LD. Se for independente de e , o conjunto será LI. Se puder ser escrito como uma combinação linear de e , o conjunto será LD.
Resposta
Verdadeiro. Se é linearmente independente, ao adicionar , o conjunto pode ser tanto linearmente independente quanto dependente, dependendo de .