Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
f) é LI, então tanto pode ser LD como LI.
23. Dados e . Prove que é LD, quaisquer que sejam e w.
24. Determine e , sabendo que é LI e que .
25. Suponha que seja LI. Dado , existem e tais que (Proposição 6-8, referância 2). Prove: é .
26. Em uma roleta de centro , o preto 17 ocupa a posição . Após um giro de radianos, passa a ocupar a posição . Qual é a medida angular em radianos entre e O Q ?
27. Os vetores não-nulos u e v são ortogonais, têm normas iguais, e w é gerado por eles. Sabendo que w cdot u=w cdot v e que w não é nulo, obtenha as medidas angulares, em graus, entre u e w e entre v e w.
28. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) u cdot u=0 Leftrightarrow u=0
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está perguntando. Temos dois conjuntos de vetores:
u, v é linearmente independente (LI).
Queremos saber se, ao adicionar um terceiro vetor w, o novo conjunto u, v, w pode ser tanto linearmente dependente (LD) quanto linearmente independente (LI).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e como a adição de um novo vetor afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, para u, v ser LI, se au + bv = 0, então necessariamente a = 0 e b = 0.
Passo 3
Agora, ao adicionar um terceiro vetor w, queremos ver se o novo conjunto u, v, w pode ser tanto LI quanto LD.
Primeiro, para que u, v, w seja LI, w não deve ser uma combinação linear de u e v. Isso significa que não existe nenhum par de escalares a e b tais que w = au + bv. Se esse for o caso, o conjunto permanece LI.
Passo 4
Por outro lado, para que u, v, w seja LD, w precisa ser uma combinação linear de u e v. Ou seja, existe pelo menos um par de escalares a e b tal que w = au + bv. Nesse caso, uma das três condições sempre pode ser escrita como uma combinação das outras duas, tornando o conjunto LD.
Passo 5
Portanto, dependendo da escolha de w, o conjunto u, v, w pode ser tanto LI quanto LD. Se w for independente de u e v, o conjunto será LI. Se w puder ser escrito como uma combinação linear de u e v, o conjunto será LD.
Resposta
Verdadeiro. Se u, v é linearmente independente, ao adicionar w, o conjunto u, v, w pode ser tanto linearmente independente quanto dependente, dependendo de w.