Calcule o determinante da matriz usando operações elementares ou por cofatores.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz usando operações elementares ou cofatores. A matriz que temos é:
0 & 3 & 1 1 & 1 & 2 3 & 2 & 4
Para isso, precisaremos entender como calcular determinantes de matrizes 3x3, seja pelo método dos cofatores ou simplificando a matriz com operações elementares.
Passo 2
Vamos optar pelo método dos cofatores, que é bem direto para matrizes pequenas. Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para expandir o determinante. Vou escolher a primeira linha para facilitar, já que ela tem um zero, o que simplifica os cálculos.
Passo 3
A fórmula do determinante usando cofatores na primeira linha é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
Onde é o cofator correspondente a cada elemento .
Passo 4
Vamos calcular cada cofator:
Para 1 & 2 3 & 4 , o cofator 1 & 1 3 & 2 não vai contribuir, já que é multiplicado por zero.
Para , o cofator é elevado à soma dos índices, ou seja, , multiplicado pelo determinante da submatriz que sobra:
O determinante dessa submatriz é . Então, .
Para , o cofator é , multiplicado pelo determinante da submatriz que sobra:
O determinante dessa submatriz é . Então, .
Passo 5
Agora substituímos esses valores na fórmula do determinante:
det(A) = 0 times C11 + 3 times 2 + 1 times (-1) = 0 + 6 - 1 = 5