Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (j) contém as retas e s: x+22=2-y2, z=0.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas específicas, e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como representação de retas no espaço e equação de planos. Vamos usar vetores diretores das retas e o produto vetorial para encontrar a normal do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas x = -3 + t y = -t z = 4 e x + 22 = 2 - y2, z = 0 .
Para a reta x = -2 + 2t, y = 2 - 2t, z = 0 :
Aqui, o vetor diretor de é .
Para a reta :
Podemos reescrever em forma paramétrica. Observando, temos:
Então, o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Para isso, usamos o produto vetorial entre os vetores diretores das retas n = i & j & k 1 & -1 & 0 2 & -2 & 0 = (0, 0, 0) e .
Calculando :
Oh-oh, o produto vetorial deu zero, o que indica que os vetores são colineares. Isso significa que as retas e são paralelas ou coincidentes. Para encontrar o plano, precisamos de uma direção diferente.
Passo 4
Como as retas são paralelas, podemos usar o vetor que liga um ponto de u = Ps - Pr = (1, 2, -4) a um ponto de n = i & j & k 1 & -1 & 0 1 & 2 & -4 = ( ( (-1)(-4) - (0)(2) ), - ( (1)(-4) - (0)(1) ), (1)(2) - (-1)(1) ) para encontrar uma direção adicional.
Vamos escolher n = (4, 4, 3) para ambos:
Para :
Para :
O vetor ligando a é:
Agora, temos dois vetores no plano: e . Vamos calcular o produto vetorial deles para encontrar a normal do plano.