Determinar as equações vetorial, paramétrica, simétrica (caso exista) e reduzida (caso exista) da reta que
(b) Passa por e tem direção de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida de uma reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, onde trabalhamos com vetores e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação vetorial da reta. Ela é dada por:
Aqui, é o vetor posição de um ponto da reta (nesse caso, ) e é o vetor diretor da reta. O é um parâmetro real que varia.
Passo 3
Vamos substituir os valores na equação vetorial. O vetor posição de é:
E o vetor diretor é:
r = 0 2 1 + t 5 0 -3
Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos separar a equação vetorial nas equações paramétricas. Isso significa expressar cada coordenada em função do parâmetro x = 0 + 5t Rightarrow x = 5t :
y = 2 + 0t Rightarrow y = 2
z = 1 - 3t
x = 5t, y = 2, z = 1 - 3t
Então, as equações paramétricas são:
Passo 5
Para encontrar a equação simétrica da reta, resolvemos cada equação paramétrica para t = x5, t = y - 20, t = 1 - z3 e igualamos entre si:
x5 = 1 - z3 e y = 2
Observando que não é definida a menos que . Portanto, a equação simétrica da reta é:
Passo 6
A equação reduzida da reta é uma forma simplificada da equação simétrica, desde que todas as componentes do vetor diretor sejam não nulas. No nosso caso, como a componente do x5 = 1 - z3 e y = 2 no vetor diretor é zero, isso indica que a reta é paralela ao eixo e permanece constante. Portanto, a equação reduzida é a mesma que a simétrica: