Determinar as equações vetorial, paramétrica, simétrica (caso exista) e reduzida (caso exista) da reta que
(b) Passa por P=(0,2,1) e tem direção de v=(5,0,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida de uma reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, onde trabalhamos com vetores e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação vetorial da reta. Ela é dada por:
r = r0 + tv
Aqui, é o vetor posição de um ponto da reta (nesse caso, ) e é o vetor diretor da reta. O é um parâmetro real que varia.

Passo 3

Vamos substituir os valores na equação vetorial. O vetor posição de r0 = 0 2 1 é:
v = 5 0 -3
E o vetor diretor é:
r = 0 2 1 + t 5 0 -3
Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos separar a equação vetorial nas equações paramétricas. Isso significa expressar cada coordenada em função do parâmetro x = 0 + 5t Rightarrow x = 5t :
y = 2 + 0t Rightarrow y = 2
z = 1 - 3t
x = 5t, y = 2, z = 1 - 3t
Então, as equações paramétricas são:

Passo 5

Para encontrar a equação simétrica da reta, resolvemos cada equação paramétrica para t = x5, t = y - 20, t = 1 - z3 e igualamos entre si:
x5 = 1 - z3 e y = 2
Observando que não é definida a menos que . Portanto, a equação simétrica da reta é:

Passo 6

A equação reduzida da reta é uma forma simplificada da equação simétrica, desde que todas as componentes do vetor diretor sejam não nulas. No nosso caso, como a componente do x5 = 1 - z3 e y = 2 no vetor diretor é zero, isso indica que a reta é paralela ao eixo e permanece constante. Portanto, a equação reduzida é a mesma que a simétrica:

Resposta

As equações da reta são:
  • Vetorial:
r = 0 2 1 + t 5 0 -3
  • Paramétricas:
x = 5t, y = 2, z = 1 - 3t
  • Simétrica:
x5 = 1 - z3 e y = 2
  • Reduzida:
x5 = 1 - z3 e y = 2

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