Calcule o determinante das matrizes abaixo.
а) A=[rrrr3 & 4 & 2 & 1 5 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 4 & 0 -1 & 0 & 3 & 3].

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante é uma função que associa um número a uma matriz quadrada e é muito útil para entender propriedades da matriz, como se ela é invertível ou não. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular determinantes de matrizes 4x4, usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace. Vou usar a expansão de Laplace aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 3 & 4 & 2 & 1 5 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 4 & 0 -1 & 0 & 3 & 3 :

Passo 3

Como calcular determinantes de matrizes 4x4 pode ser trabalhoso, vamos simplificar usando a expansão de Laplace. Para isso, vamos expandir em relação a uma linha ou coluna que tenha zeros, assim facilitando os cálculos. Observando a matriz, a terceira linha tem dois zeros, então é uma boa escolha para a expansão.

Passo 4

A expansão de Laplace na terceira linha fica assim:
det(A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 + a34C34
onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Substituindo os valores da terceira linha:
det(A) = 0 cdot C31 + 0 cdot C32 + 4 cdot C33 + 0 cdot C34
Os termos com zeros vão eliminar algumas partes, então só precisamos calcular .

Passo 6

Agora, vamos calcular o cofator C33 = (-1)^3+3 cdot M33 . O cofator é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, a determinante da matriz que sobra ao remover a terceira linha e terceira coluna de .

Passo 7

Removendo a terceira linha e terceira coluna, a matriz menor fica:
M = 3 & 4 & 1 5 & 0 & -2 -1 & 0 & 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 8

Para calcular o determinante de det(M) = 3 cdot (0 cdot 3 - (-2) cdot 0) - 4 cdot (5 cdot 3 - (-2) cdot (-1)) + 1 cdot (5 cdot 0 - 0 cdot (-1)) :
det(M) = 3 cdot (0 - 0) - 4 cdot (15 - 2) + 1 cdot (0 - 0) = 0 - 4 cdot 13 + 0 = -52
Simplificando cada termo:

Passo 9

Agora, voltando ao cofator C33 = (-1)^6 cdot (-52) = 1 cdot (-52) = -52 :

Passo 10

Finalmente, substituímos na expressão do determinante:
det(A) = 4 cdot (-52) = -208

Resposta

O determinante da matriz é .

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