Determine um vetor unitário que tenha:
(I)mesma direção e sentido de a;
(II)mesma direção e sentido oposto ao de a.
<2,-5>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! Precisamos encontrar dois vetores unitários baseados no vetor a = <2, -5>. Primeiro, um vetor unitário que tem a mesma direção e sentido de a, e segundo, outro que tem a mesma direção mas sentido oposto. Para isso, vamos usar conceitos de magnitude de vetor e como construir vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude do vetor a. A magnitude é basicamente o tamanho do vetor e usamos a seguinte fórmula:
| a | = raizx^2 + y^2
Aqui, x e y são as componentes do vetor. No nosso caso, a = <2, -5>, então x = 2 e y = -5.

Passo 3

Aplicando os valores na fórmula da magnitude:
| a | = raiz2^2 + (-5)^2 = raiz4 + 25 = raiz29
Então, a magnitude do vetor a é raiz29.

Passo 4

Agora, para encontrar um vetor unitário que tenha a mesma direção e sentido de a, a gente divide cada componente do vetor a pela sua magnitude. A fórmula fica assim:
a = , a ,| a |

Passo 5

Vamos fazer essa divisão:
a = < 2raiz29, -5raiz29 >
Esse é o vetor unitário que tem a mesma direção e sentido do vetor a.

Passo 6

Para o segundo ponto, queremos um vetor unitário que tenha a mesma direção, mas sentido oposto. Para isso, basta multiplicar o vetor unitário que encontramos por -1:
aoposto = -a = < -2raiz29, 5raiz29 >

Resposta

(I) $ \left\langle \dfrac{2}{\sqrt{29}}, \dfrac{-5}{\sqrt{29}} \right\rangle $
(II) $ \left\langle \dfrac{-2}{\sqrt{29}}, \dfrac{5}{\sqrt{29}} \right\rangle $

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