Os planos pi1: y+z=0 e pi2: 4 x+y-z+3=0 se interceptam na reta r dada. Qual das alternativas representa uma equação da reta r ?
e) r: x4=y=-z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações de planos no espaço tridimensional:
pi1: y + z = 0
pi2: 4x + y - z + 3 = 0
O objetivo é encontrar uma equação da reta onde esses dois planos se interceptam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica no Espaço, especificamente sobre a interseção de planos e equações paramétricas de retas.

Passo 2

A interseção de dois planos no espaço, se não forem paralelos, é uma reta. Para encontrar essa reta, precisamos resolver o sistema das duas equações dos planos para encontrar relações entre as coordenadas y + z = 0 (1) 4x + y - z + 3 = 0 (2) , e .
Vamos resolver o sistema:

Passo 3

Primeiro, da equação (1), podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar y = -z :
4x + (-z) - z + 3 = 0
Agora, substituímos 4x - 2z + 3 = 0 na equação (2):

Passo 4

Vamos isolar 4x = 2z - 3 na equação acima:
x = 2z - 34 = z2 - 34
Agora, temos e em termos de . Para expressar a reta de interseção, podemos definir um parâmetro, por exemplo, .

Passo 5

Definindo y = -t , então temos:
x = t2 - 34
x = t2 - 34 y = -t z = t
Portanto, a reta pode ser representada em forma paramétrica como:

Passo 6

Para simplificar, podemos expressar a equação da reta em uma forma simétrica. Vamos rearranjar as equações paramétricas:
x + 3412 = y-1 = z1
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar as frações:
4x + 32 = y-1 = z1
Simplificando:
x12 + 32 = y-1 = z1
Isso nos leva a uma forma mais compacta da equação da reta.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que melhor representa a equação simplificada da reta r: x4 = y = -z é:

Resposta

A equação da reta r: x4 = y = -z é:

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