Calcule o determinante das matrizes abaixo:
(a) e .

Passo 1

No exercício, precisamos calcular o determinante de duas matrizes 3x3, chamadas A e C. Para isso, vamos usar a regra de Sarrus, que é uma técnica prática para encontrar determinantes de matrizes de ordem 3. Vamos identificar os elementos de cada matriz e aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A:
A regra de Sarrus envolve multiplicar os elementos das diagonais principais e secundárias e somar ou subtrair esses produtos para encontrar o determinante.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus para a matriz A, escrevemos as duas primeiras colunas novamente à direita da matriz para facilitar os cálculos:

Passo 4

Agora, multiplicamos as diagonais de cima para baixo e somamos os resultados:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 5

Em seguida, multiplicamos as diagonais de baixo para cima e somamos os resultados:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 6

Agora, subtraímos a segunda soma da primeira:
Então, o determinante da matriz A é $ -\frac{5}{4} $.

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante da matriz C:
Usaremos a mesma regra de Sarrus para encontrar o determinante da matriz C.

Passo 8

Aplicando a regra de Sarrus para a matriz C, escrevemos as duas primeiras colunas novamente à direita:

Passo 9

Multiplicamos as diagonais de cima para baixo e somamos os resultados:
Calculando cada termo:
  1. Multiplicando por :
  2. ; multiplicando por 4:
  3. ; multiplicando por :
Somando todos os termos:

Passo 10

Agora, multiplicamos as diagonais de baixo para cima e somamos os resultados:
Calculando cada termo:
  1. Multiplicando por 2:
  2. ; multiplicando por :
  3. ; multiplicando por :
Somando todos os termos:

Passo 11

Agora, subtraímos a segunda soma da primeira:
Então, o determinante da matriz C é $ -k^3 + 4k^2 +3k -11 $.

Resposta

O determinante da matriz A é $ -\frac{5}{4} $ e o determinante da matriz C é $ -k^3 + 4k^2 +3k -11 $.

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