Calcule o determinante das matrizes abaixo:
(a) e .
Passo 1
No exercício, precisamos calcular o determinante de duas matrizes 3x3, chamadas A e C. Para isso, vamos usar a regra de Sarrus, que é uma técnica prática para encontrar determinantes de matrizes de ordem 3. Vamos identificar os elementos de cada matriz e aplicar essa regra passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A:
A regra de Sarrus envolve multiplicar os elementos das diagonais principais e secundárias e somar ou subtrair esses produtos para encontrar o determinante.
Passo 3
Aplicando a regra de Sarrus para a matriz A, escrevemos as duas primeiras colunas novamente à direita da matriz para facilitar os cálculos:
Passo 4
Agora, multiplicamos as diagonais de cima para baixo e somamos os resultados:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:
Passo 5
Em seguida, multiplicamos as diagonais de baixo para cima e somamos os resultados:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:
Passo 6
Agora, subtraímos a segunda soma da primeira:
Então, o determinante da matriz A é $ -\frac{5}{4} $.
Passo 7
Agora, vamos calcular o determinante da matriz C:
Usaremos a mesma regra de Sarrus para encontrar o determinante da matriz C.
Passo 8
Aplicando a regra de Sarrus para a matriz C, escrevemos as duas primeiras colunas novamente à direita:
Passo 9
Multiplicamos as diagonais de cima para baixo e somamos os resultados:
Calculando cada termo:
Multiplicando por :
; multiplicando por 4:
; multiplicando por :
Somando todos os termos:
Passo 10
Agora, multiplicamos as diagonais de baixo para cima e somamos os resultados:
Calculando cada termo:
Multiplicando por 2:
; multiplicando por :
; multiplicando por :
Somando todos os termos:
Passo 11
Agora, subtraímos a segunda soma da primeira:
Então, o determinante da matriz C é $ -k^3 + 4k^2 +3k -11 $.
Resposta
O determinante da matriz A é $ -\frac{5}{4} $ e o determinante da matriz C é $ -k^3 + 4k^2 +3k -11 $.