Calcule o determinante das matrizes abaixo:
(a) A=[lrr12 & 0 & 13 -1 & -12 & 1 1 & 2 & -1] e C=[ccc-k & -1 & 2 1 & 1-k & 1 4 & -1 & 3-k].

Passo 1

No exercício, precisamos calcular o determinante de duas matrizes 3x3, chamadas A e C. Para isso, vamos usar a regra de Sarrus, que é uma técnica prática para encontrar determinantes de matrizes de ordem 3. Vamos identificar os elementos de cada matriz e aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A:
A = 12 & 0 & 13 -1 & -12 & 1 1 & 2 & -1
A regra de Sarrus envolve multiplicar os elementos das diagonais principais e secundárias e somar ou subtrair esses produtos para encontrar o determinante.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus para a matriz A, escrevemos as duas primeiras colunas novamente à direita da matriz para facilitar os cálculos:
12 & 0 & 13 & 12 & 0 -1 & -12 & 1 & -1 & -12 1 & 2 & -1 & 1 & 2

Passo 4

Agora, multiplicamos as diagonais de cima para baixo e somamos os resultados:
(12 times -12 times -1) + (0 times 1 times 1) + (13 times -1 times 2)
Calculando cada termo:
12 times -12 = -14; -14 times -1 = 14
0 times 1 times 1 = 0
13 times -1 = -13; -13 times 2 = -23
Somando todos os termos:
14 + 0 - 23 = 14 - 23 = -512

Passo 5

Em seguida, multiplicamos as diagonais de baixo para cima e somamos os resultados:
(1 times -12 times 13) + (2 times 1 times 12) + (-1 times -1 times 0)
Calculando cada termo:
1 times -12 = -12; -12 times 13 = -16
2 times 1 = 2; 2 times 12 = 1
-1 times -1 = 1; 1 times 0 = 0
Somando todos os termos:
-16 + 1 + 0 = 56

Passo 6

Agora, subtraímos a segunda soma da primeira:
- 512 - 56 = - 512 - 1012 = - 1512 = - 54
Então, o determinante da matriz A é $ -\frac{5}{4} $.

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante da matriz C:
C = -k & -1 & 2 1 & 1 - k & 1 4 & -1 & 3 - k
Usaremos a mesma regra de Sarrus para encontrar o determinante da matriz C.

Passo 8

Aplicando a regra de Sarrus para a matriz C, escrevemos as duas primeiras colunas novamente à direita:
-k & -1 & 2 & -k & -1 1 & 1 - k & 1 & 1 & 1 - k 4 & -1 & 3 - k & 4 & -1

Passo 9

Multiplicamos as diagonais de cima para baixo e somamos os resultados:
(-k) times (1 - k) times (3 - k) + (-1) times 1 times 4 + 2 times 1 times (-1)
Calculando cada termo:
  1. (-k) times (1 - k) = -k + k^2
    Multiplicando por (3 - k): (-k + k^2)(3 - k) = -3k + k^2 + 3k^2 - k^3 = -3k + 4k^2 - k^3
  2. (-1) times 1 = -1; multiplicando por 4: -1 times 4 = -4
  3. 2 times 1 = 2; multiplicando por -1: 2 times -1 = -2
Somando todos os termos:
(-3k + 4k^2 - k^3) + (-4) + (-2) = -k^3 + 4k^2 -3k -6

Passo 10

Agora, multiplicamos as diagonais de baixo para cima e somamos os resultados:
4 times (1 - k) times 2 + (-1) times 1 times (-k) + (3 - k) times 1 times (-1)
Calculando cada termo:
  1. 4 times (1 - k) = 4 - 4k
    Multiplicando por 2: (4 - 4k) times 2 = 8 - 8k
  2. (-1) times 1 = -1; multiplicando por -k: -1 times -k = k
  3. (3 - k) times 1 = 3 - k; multiplicando por -1: (3 - k) times -1 = -3 + k
Somando todos os termos:
(8 - 8k) + k + (-3 + k) = 8 -8k + k -3 +k = 5 -6k

Passo 11

Agora, subtraímos a segunda soma da primeira:
(-k^3 + 4k^2 -3k -6) - (5 -6k) = -k^3 + 4k^2 -3k -6 -5 +6k = -k^3 + 4k^2 +3k -11
Então, o determinante da matriz C é $ -k^3 + 4k^2 +3k -11 $.

Resposta

O determinante da matriz A é $ -\frac{5}{4} $ e o determinante da matriz C é $ -k^3 + 4k^2 +3k -11 $.

Exercícios relacionados