Determinar as equações da reta que
(b) Passa por P=(0,2,1) e tem direção de v=(5,0,-3).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica que pede para determinar as equações de uma reta no espaço tridimensional. O que precisamos saber? Precisamos entender como representar uma reta no espaço usando um ponto por onde ela passa e um vetor que indica sua direção. Vamos usar as equações paramétricas da reta para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, identificamos o ponto pelo qual a reta passa. No nosso caso, o ponto é . Isso significa que, quando o parâmetro , as coordenadas da reta serão exatamente as do ponto .

Passo 3

Em seguida, identificamos o vetor direção da reta, que é dado por . Esse vetor indica a direção na qual a reta se estende a partir do ponto .

Passo 4

As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
onde são as coordenadas do ponto inicial e são as componentes do vetor direção .

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
  • Ponto inicial x = 0 + 5t y = 2 + 0t z = 1 - 3t
  • Vetor direção
As equações paramétricas ficam:

Passo 6

Simplificando as equações:
x = 5t y = 2 z = 1 - 3t
Aqui, é o parâmetro que pode variar livremente, permitindo que percorremos todos os pontos da reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 5t y = 2 z = 1 - 3t
onde é um número real.

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