Dê equaçōes gerais dos planos paralelos ao plano determinado pelas retas r e s, e que distam 2 de . Dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar equações gerais de planos que são paralelos a um plano chamado . Esse plano é definido pelas retas e . Além disso, esses novos planos devem estar a uma distância de 2 unidades do plano . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos, vetores normais e a fórmula para calcular a distância entre planos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o plano que é determinado pelas retas e . A reta é dada pelas equações:
E a reta é dada pela equação paramétrica:
Como duas retas determinam um plano quando não são paralelas, vamos encontrar a equação desse plano .
Passo 3
Para achar a equação do plano , precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal a ele. Podemos pegar o ponto de interseção das retas ou qualquer ponto conhecido. Vamos usar o ponto da reta .
Agora, precisamos de um vetor normal ao plano . Sabemos que uma reta no plano tem um vetor direção. A reta tem direção proporcional a (derivando das equações e ). A reta tem direção . O vetor normal ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial desses dois vetores direção.
Com o vetor normal n = (2, -1, 2) e o ponto (4,1,1), a equação do plano pi é:
2(x - 4) -1(y - 1) + 2(z - 1) = 0
Expandindo:
2x - 8 - y + 1 + 2z - 2 = 0 2x - y + 2z - 9 = 0
Então, a equação geral do plano pi é:
2x - y + 2z = 9
Passo 6
Agora, queremos encontrar planos paralelos a pi que estão a uma distância de 2 unidades desse plano. Como os planos são paralelos, eles terão o mesmo vetor normal, ou seja, (2, -1, 2). A equação geral desses planos será:
2x - y + 2z = D
Onde D é uma constante que vamos determinar.
Passo 7
A fórmula para a distância d entre dois planos paralelos 2x - y + 2z = 9 e 2x - y + 2z = D é: