Dê equaçōes gerais dos planos paralelos ao plano pi determinado pelas retas r e s, e que distam 2 de pi. Dados:
r:l x+z=5 y=1 s: X=(4,1,1)+lambda(4,2,-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar equações gerais de planos que são paralelos a um plano chamado pi. Esse plano pi é definido pelas retas r e s. Além disso, esses novos planos devem estar a uma distância de 2 unidades do plano pi. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos, vetores normais e a fórmula para calcular a distância entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o plano pi que é determinado pelas retas r e s. A reta r é dada pelas equações:
x + z = 5 y = 1
E a reta s é dada pela equação paramétrica:
X = (4,1,1) + lambda(4,2,-3)
Como duas retas determinam um plano quando não são paralelas, vamos encontrar a equação desse plano pi.

Passo 3

Para achar a equação do plano pi, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal a ele. Podemos pegar o ponto de interseção das retas ou qualquer ponto conhecido. Vamos usar o ponto (4,1,1) da reta s.
Agora, precisamos de um vetor normal ao plano pi. Sabemos que uma reta no plano tem um vetor direção. A reta r tem direção proporcional a (1,0,-1) (derivando das equações x + z = 5 e y=1). A reta s tem direção (4,2,-3). O vetor normal ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial desses dois vetores direção.

Passo 4

Calculando o produto vetorial entre (1,0,-1) e (4,2,-3):
n = i & j & k 1 & 0 & -1 4 & 2 & -3 = i(0 cdot (-3) - (-1) cdot 2) - j(1 cdot (-3) - (-1) cdot 4) + k(1 cdot 2 - 0 cdot 4)
Simplificando:
n = i(0 + 2) - j(-3 + 4) + k(2 - 0) = 2i - 1j + 2k
Então, o vetor normal é (2, -1, 2).

Passo 5

Com o vetor normal n = (2, -1, 2) e o ponto (4,1,1), a equação do plano pi é:
2(x - 4) -1(y - 1) + 2(z - 1) = 0
Expandindo:
2x - 8 - y + 1 + 2z - 2 = 0 2x - y + 2z - 9 = 0
Então, a equação geral do plano pi é:
2x - y + 2z = 9

Passo 6

Agora, queremos encontrar planos paralelos a pi que estão a uma distância de 2 unidades desse plano. Como os planos são paralelos, eles terão o mesmo vetor normal, ou seja, (2, -1, 2). A equação geral desses planos será:
2x - y + 2z = D
Onde D é uma constante que vamos determinar.

Passo 7

A fórmula para a distância d entre dois planos paralelos 2x - y + 2z = 9 e 2x - y + 2z = D é:
d = |D - 9|raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = |D - 9|raiz4 + 1 + 4 = |D - 9|3
Queremos que essa distância seja 2, então:
|D - 9|3 = 2 |D - 9| = 6
Isso nos dá duas opções:
  1. D - 9 = 6 Rightarrow D = 15
  2. D - 9 = -6 Rightarrow D = 3

Resposta

As equações gerais dos planos paralelos a pi que distam 2 unidades de pi são:
2x - y + 2z = 15
e
2x - y + 2z = 3

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