Dê equaçōes gerais dos planos paralelos ao plano determinado pelas retas r e s, e que distam 2 de . Dados:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar equações gerais de planos que são paralelos a um plano chamado . Esse plano é definido pelas retas e . Além disso, esses novos planos devem estar a uma distância de 2 unidades do plano . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos, vetores normais e a fórmula para calcular a distância entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o plano que é determinado pelas retas e . A reta é dada pelas equações:
E a reta é dada pela equação paramétrica:
Como duas retas determinam um plano quando não são paralelas, vamos encontrar a equação desse plano .

Passo 3

Para achar a equação do plano , precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal a ele. Podemos pegar o ponto de interseção das retas ou qualquer ponto conhecido. Vamos usar o ponto da reta .
Agora, precisamos de um vetor normal ao plano . Sabemos que uma reta no plano tem um vetor direção. A reta tem direção proporcional a (derivando das equações e ). A reta tem direção . O vetor normal ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial desses dois vetores direção.

Passo 4

Calculando o produto vetorial entre e :
Simplificando:
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto , a equação do plano é:
Expandindo:
Então, a equação geral do plano é:

Passo 6

Agora, queremos encontrar planos paralelos a que estão a uma distância de 2 unidades desse plano. Como os planos são paralelos, eles terão o mesmo vetor normal, ou seja, . A equação geral desses planos será:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 7

A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
Queremos que essa distância seja 2, então:
Isso nos dá duas opções:

Resposta

As equações gerais dos planos paralelos a que distam 2 unidades de são:
e

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Determinar as equações da reta que
(b) Passa por e tem direção de .
Calcule o determinante das matrizes abaixo:
(a) e .
(2,0 pontos) Determine o(s) valor(es) de tais que o sistema de equações lineares
Não tenha solução.
Determine um vetor de direção e três pontos distintos sobre a reta
(b)