Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
d) Seja
um espaço vetorial sobre
finitamente gerado. Seja
uma transformação linear tal que
. Quais são os possíveis valores de
?
d) Seja
Passo 1
Vamos resolver o problema de determinar os possíveis valores do determinante de uma transformação linear
que satisfaz
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operadores idempotentes e determinantes. Para isso, vamos precisar entender o que significa
e como isso afeta o determinante de
.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a condição
. Isso significa que aplicar a transformação
duas vezes é o mesmo que aplicá-la uma vez. Em termos de matrizes, isso implica que
é uma matriz idempotente.
Passo 3
Sabemos que todo operador linear pode ser representado por uma matriz em relação a uma base adequada. O determinante de
,
, é o produto dos autovalores de
.
Passo 4
Vamos encontrar os possíveis autovalores de
. Considerando
, temos que para um autovalor
de
:
Resolvendo essa equação, obtemos
, então os possíveis autovalores são
ou
.
Passo 5
Como o determinante é o produto dos autovalores, e cada autovalor pode ser 0 ou 1, os possíveis valores de
são os produtos de 0’s e 1’s. Ou seja,
pode ser apenas 0 ou 1.
Resposta
Os possíveis valores de
são 0 e 1.