Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
d) Seja V um espaço vetorial sobre F finitamente gerado. Seja F: V V uma transformação linear tal que F^2=F. Quais são os possíveis valores de det(F) ?

Passo 1

Vamos resolver o problema de determinar os possíveis valores do determinante de uma transformação linear que satisfaz . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operadores idempotentes e determinantes. Para isso, vamos precisar entender o que significa e como isso afeta o determinante de .

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a condição . Isso significa que aplicar a transformação duas vezes é o mesmo que aplicá-la uma vez. Em termos de matrizes, isso implica que é uma matriz idempotente.

Passo 3

Sabemos que todo operador linear pode ser representado por uma matriz em relação a uma base adequada. O determinante de , , é o produto dos autovalores de .

Passo 4

Vamos encontrar os possíveis autovalores de F^2(v) = F(v) implies lambda^2 v = lambda v implies lambda^2 = lambda . Considerando , temos que para um autovalor de :
Resolvendo essa equação, obtemos , então os possíveis autovalores são ou .

Passo 5

Como o determinante é o produto dos autovalores, e cada autovalor pode ser 0 ou 1, os possíveis valores de são os produtos de 0’s e 1’s. Ou seja, pode ser apenas 0 ou 1.

Resposta

Os possíveis valores de são 0 e 1.

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