Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
d) Seja um espaço vetorial sobre finitamente gerado. Seja uma transformação linear tal que . Quais são os possíveis valores de ?
Passo 1
Vamos resolver o problema de determinar os possíveis valores do determinante de uma transformação linear que satisfaz . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operadores idempotentes e determinantes. Para isso, vamos precisar entender o que significa e como isso afeta o determinante de .
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a condição . Isso significa que aplicar a transformação duas vezes é o mesmo que aplicá-la uma vez. Em termos de matrizes, isso implica que é uma matriz idempotente.
Passo 3
Sabemos que todo operador linear pode ser representado por uma matriz em relação a uma base adequada. O determinante de , , é o produto dos autovalores de .
Passo 4
Vamos encontrar os possíveis autovalores de . Considerando , temos que para um autovalor de :
Resolvendo essa equação, obtemos , então os possíveis autovalores são ou .
Passo 5
Como o determinante é o produto dos autovalores, e cada autovalor pode ser 0 ou 1, os possíveis valores de são os produtos de 0’s e 1’s. Ou seja, pode ser apenas 0 ou 1.