Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
d) Seja um espaço vetorial sobre finitamente gerado. Seja uma transformação linear tal que . Quais são os possíveis valores de ?

Passo 1

Vamos resolver o problema de determinar os possíveis valores do determinante de uma transformação linear que satisfaz . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operadores idempotentes e determinantes. Para isso, vamos precisar entender o que significa e como isso afeta o determinante de .

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a condição . Isso significa que aplicar a transformação duas vezes é o mesmo que aplicá-la uma vez. Em termos de matrizes, isso implica que é uma matriz idempotente.

Passo 3

Sabemos que todo operador linear pode ser representado por uma matriz em relação a uma base adequada. O determinante de , , é o produto dos autovalores de .

Passo 4

Vamos encontrar os possíveis autovalores de . Considerando , temos que para um autovalor de :
Resolvendo essa equação, obtemos , então os possíveis autovalores são ou .

Passo 5

Como o determinante é o produto dos autovalores, e cada autovalor pode ser 0 ou 1, os possíveis valores de são os produtos de 0’s e 1’s. Ou seja, pode ser apenas 0 ou 1.

Resposta

Os possíveis valores de são 0 e 1.

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Seja uma matriz cujas linhas são . Como em sala de aula denotamos . Usando a linearidade em cada uma das linhas ( -linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
b) Prove que .
Seja uma matriz cujas linhas são . Como em sala de aula denotamos . Usando a linearidade em cada uma das linhas ( -linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
a) Prove que se , então .
Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
e) Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas por . Seja e a transformação linear dada por . Mostre que .
Calcule o determinante das matrizes
Note que usando o que foi visto em sala de aula, o determinante das matrizes de ) e ) podem ser calculados com muito poucas contas, ou mesmo sem cálculo algum no caso c).