Calcule o determinante da matrizes dadas abaixo:
a) A=[rrrr3 & 5 & -2 & 6 1 & 2 & -1 & 1 2 & 4 & 1 & 5 3 & 7 & 5 & 3]
b) B=[rrr1 & 2 & 3 4 & -5 & 6 -7 & 8 & 9]

Passo 1

Vamos resolver o determinante das duas matrizes que você enviou. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de determinantes de matrizes, que é fundamental para entender propriedades de sistemas lineares, inversibilidade de matrizes e muito mais. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra de Laplace e, no caso da matriz 4x4, vamos usar a expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A, que é uma matriz 4x4. O determinante de uma matriz maior pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos por partes.

Passo 3

A matriz A é:
A = 3 & 5 & -2 & 6 1 & 2 & -1 & 1 2 & 4 & 1 & 5 3 & 7 & 5 & 3
Para calcular o determinante, vamos expandir pela primeira linha usando cofatores.

Passo 4

A regra de Laplace nos diz que o determinante de uma matriz pode ser calculado multiplicando cada elemento de uma linha (ou coluna) por seu cofator correspondente e somando os resultados. O cofator é calculado como vezes o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 5

Vamos calcular cada termo da primeira linha:
  • Elemento (1,1): 3
    • Cofator: 2 & -1 & 1 4 & 1 & 5 7 & 5 & 3 determinante da submatriz
1 & -1 & 1 2 & 1 & 5 3 & 5 & 3
  • Elemento (1,2): 5
    • Cofator: 1 & 2 & 1 2 & 4 & 5 3 & 7 & 3 determinante da submatriz
1 & 2 & -1 2 & 4 & 1 3 & 7 & 5
  • Elemento (1,3): -2
    • Cofator: determinante da submatriz
  • Elemento (1,4): 6
    • Cofator: determinante da submatriz

Passo 6

Agora, vamos calcular os determinantes das submatrizes 3x3:
  1. Para o primeiro cofator:
2 & -1 & 1 4 & 1 & 5 7 & 5 & 3 = 2(1 cdot 3 - 5 cdot 5) - (-1)(4 cdot 3 - 5 cdot 7) + 1(4 cdot 5 - 1 cdot 7) = 2(-22) - (-1)(-23) + 1(13) = -44 - 23 + 13 = -54
  1. Para o segundo cofator:
1 & -1 & 1 2 & 1 & 5 3 & 5 & 3 = 1(1 cdot 3 - 5 cdot 5) - (-1)(2 cdot 3 - 5 cdot 3) + 1(2 cdot 5 - 1 cdot 3) = 1(-22) - (-1)(-9) + 1(7) = -22 - 9 + 7 = -24
  1. Para o terceiro cofator:
1 & 2 & 1 2 & 4 & 5 3 & 7 & 3 = 1(4 cdot 3 - 5 cdot 7) - 2(2 cdot 3 - 5 cdot 3) + 1(2 cdot 7 - 4 cdot 3) = 1(-23) - 2(-9) + 1(-2) = -23 + 18 - 2 = -7
  1. Para o quarto cofator:
1 & 2 & -1 2 & 4 & 1 3 & 7 & 5 = 1(4 cdot 5 - 1 cdot 7) - 2(2 cdot 5 - 1 cdot 3) + (-1)(2 cdot 7 - 4 cdot 3) = 1(13) - 2(7) + (-1)(2) = 13 - 14 - 2 = -3

Passo 7

Agora, multiplicamos cada elemento da primeira linha pelo seu cofator correspondente e somamos:
det(A) = 3 times (-54) + 5 times (-24) + (-2) times (-7) + 6 times (-3) = -162 - 120 + 14 - 18 = -286

Passo 8

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B, que é uma matriz 3x3. Para matrizes menores, podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar.

Passo 9

A matriz B é:
B = 1 & 2 & 3 4 & -5 & 6 -7 & 8 & 9
Aplicando a regra de Sarrus, que consiste em multiplicar as diagonais principais e secundárias e subtrair os produtos.

Passo 10

Calculando as diagonais principais:
1 times (-5) times 9 = -45 2 times 6 times (-7) = -84 3 times 4 times 8 = 96
Somando esses resultados:
-45 + (-84) + 96 = -33
Calculando as diagonais secundárias:
3 times (-5) times (-7) = 105 2 times 4 times 9 = 72 1 times 6 times 8 = 48
Somando esses resultados:
105 + 72 + 48 = 225

Passo 11

Subtraindo as somas das diagonais secundárias das principais:
det(B) = -33 - 225 = -258

Resposta

a) O determinante da matriz A é -286.
b) O determinante da matriz B é -258.

Exercícios relacionados