Encontre o centro e raios das elipses abaixo e faça um esboça da curva correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e os raios da elipse dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e vamos precisar completar o quadrado nas variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e de
separados:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as partes de
e de
. Para facilitar, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
Passo 4
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
- Para
: - Coeficiente de
é 2. - Metade disso é 1, e ao quadrado é 1.
- Então, adicionamos e subtraímos 1:
- Coeficiente de
- Para
: - Coeficiente de
é 2. - Metade disso é 1, e ao quadrado é 1.
- Então, adicionamos e subtraímos 1:
- Coeficiente de
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Agora, distribuímos os coeficientes:
Passo 6
Somando os termos constantes:
Adicionamos 34 em ambos os lados:
Passo 7
Agora, dividimos ambos os lados da equação por 225 para obter a forma padrão da elipse:
Passo 8
Comparando com a forma padrão da elipse:
Podemos identificar:
Resposta
O centro da elipse é
, o raio maior é 5 unidades, e o raio menor é 3 unidades. O esboço da elipse seria uma curva alongada horizontalmente, centrada no ponto
, estendendo-se 5 unidades para a direita e para a esquerda, e 3 unidades para cima e para baixo.