Encontre o centro e raios das elipses abaixo e faça um esboça da curva correspondente: 9 x^2+18 x+25 y^2+50 y-191=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e os raios da elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e vamos precisar completar o quadrado nas variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 9x^2 + 18x + 25y^2 + 50y = 191 e de separados:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as partes de 9(x^2 + 2x) + 25(y^2 + 2y) = 191 e de . Para facilitar, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:

Passo 4

Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
  • Para x^2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)^2 - 1 :
    • Coeficiente de y^2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)^2 - 1 é 2.
    • Metade disso é 1, e ao quadrado é 1.
    • Então, adicionamos e subtraímos 1:
  • Para :
    • Coeficiente de é 2.
    • Metade disso é 1, e ao quadrado é 1.
    • Então, adicionamos e subtraímos 1:

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
9[(x + 1)^2 - 1] + 25[(y + 1)^2 - 1] = 191
Agora, distribuímos os coeficientes:
9(x + 1)^2 - 9 + 25(y + 1)^2 - 25 = 191

Passo 6

Somando os termos constantes:
9(x + 1)^2 + 25(y + 1)^2 - 34 = 191
Adicionamos 34 em ambos os lados:
9(x + 1)^2 + 25(y + 1)^2 = 225

Passo 7

Agora, dividimos ambos os lados da equação por 225 para obter a forma padrão da elipse:
(x + 1)^225 + (y + 1)^29 = 1

Passo 8

Comparando com a forma padrão da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Podemos identificar:

Resposta

O centro da elipse é , o raio maior é 5 unidades, e o raio menor é 3 unidades. O esboço da elipse seria uma curva alongada horizontalmente, centrada no ponto , estendendo-se 5 unidades para a direita e para a esquerda, e 3 unidades para cima e para baixo.

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