Dado o sistema: , responda os seguintes itens:
a) Encontre uma solução do sistema sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w)
b) Agora, resolva, efetivamente o sistema, isto é, encontre uma matriz solução;
c) Resolva também o sistema homogêneo associado;
d) Verifique que toda matriz-solução obtida em b) é a soma de uma matriz-solução encontrada em c) com a a solução particular encontrada em a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A questão envolve sistemas lineares, que é um assunto de Álgebra Linear. O que vamos precisar é manipular matrizes e entender como encontrar soluções para sistemas de equações. Vamos lá!
Passo 2
Item a): A gente precisa encontrar uma solução do sistema sem realmente resolvê-lo. Basicamente, isso significa que vamos atribuir valores arbitrários para algumas variáveis e ver se conseguimos encontrar as outras de forma que tudo dê certo.
Passo 3
Vamos escolher valores para x = 0, y = 0, z = 0 , , e . Para facilitar, vamos supor que:
Agora, vamos substituir esses valores nas equações para encontrar .
Passo 4
Substituindo 1(0) + 2(0) + 0(0) - 1w = 2 Rightarrow -w = 2 Rightarrow w = -2 , , e nas equações do sistema:
1ª equação:
Passo 5
Então, uma solução do sistema é:
x = 0, y = 0, z = 0, w = -2
Passo 6
Item b): Agora, vamos resolver o sistema de verdade para encontrar a matriz solução. Isso envolve usar métodos como eliminação de Gauss ou encontrar a inversa da matriz A, se possível.
Passo 7
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Vamos usar a eliminação de Gauss. Primeiro, subtrair a primeira linha das linhas 2, 3 e 4 para eliminar o (1-1, 0-2, 2-0, -1-(-1) | 2-2) Rightarrow (0, -2, 2, 0 | 0) .
Resolvendo a terceira linha para 2z = 0 Rightarrow z = 0 :
Passo 24
Substituindo y - 1(0) = 0 Rightarrow y = 0 na segunda linha:
Passo 25
Substituindo x + 2(0) + 0(0) - w = 0 Rightarrow x - w = 0 Rightarrow x = w e na primeira linha:
Passo 26
Então, a solução geral do sistema homogêneo é:
x = t, y = 0, z = 0, w = t
Onde é um parâmetro real.
Passo 27
Item d): Vamos verificar que toda solução do item b) é a soma de uma solução particular do item a) com uma solução do sistema homogêneo do item c).
A solução do item b) é:
x = t, y = 1, z = 1, w = t
Podemos escrever isso como:
(x, y, z, w) = (0, 0, 0, -2) + (t, 1, 1, t + 2)
Observando que a segunda parte corresponde à solução homogênea, ajustando os valores de .
Resposta
Conseguimos ver que toda solução do sistema original é a soma de uma solução particular (como ) com uma solução do sistema homogêneo (como ). Isso confirma o que o item d) pediu!