Dado o sistema: [cccc1 & 2 & 0 & -1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 2 & 2 & -1 3 & 4 & 4 & -3] cdot[cx y z w]=[l2 2 4 8], responda os seguintes itens:
a) Encontre uma solução do sistema sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w)
b) Agora, resolva, efetivamente o sistema, isto é, encontre uma matriz solução;
c) Resolva também o sistema homogêneo associado;
d) Verifique que toda matriz-solução obtida em b) é a soma de uma matriz-solução encontrada em c) com a a solução particular encontrada em a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A questão envolve sistemas lineares, que é um assunto de Álgebra Linear. O que vamos precisar é manipular matrizes e entender como encontrar soluções para sistemas de equações. Vamos lá!

Passo 2

Item a): A gente precisa encontrar uma solução do sistema sem realmente resolvê-lo. Basicamente, isso significa que vamos atribuir valores arbitrários para algumas variáveis e ver se conseguimos encontrar as outras de forma que tudo dê certo.

Passo 3

Vamos escolher valores para x = 0, y = 0, z = 0 , , e . Para facilitar, vamos supor que:
Agora, vamos substituir esses valores nas equações para encontrar .

Passo 4

Substituindo 1(0) + 2(0) + 0(0) - 1w = 2 Rightarrow -w = 2 Rightarrow w = -2 , , e nas equações do sistema:
1ª equação:

Passo 5

Então, uma solução do sistema é:
x = 0, y = 0, z = 0, w = -2

Passo 6

Item b): Agora, vamos resolver o sistema de verdade para encontrar a matriz solução. Isso envolve usar métodos como eliminação de Gauss ou encontrar a inversa da matriz A, se possível.

Passo 7

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & -1 & 2 1 & 0 & 2 & -1 & 2 1 & 2 & 2 & -1 & 4 3 & 4 & 4 & -3 & 8 ]

Passo 8

Vamos usar a eliminação de Gauss. Primeiro, subtrair a primeira linha das linhas 2, 3 e 4 para eliminar o (1-1, 0-2, 2-0, -1-(-1) | 2-2) Rightarrow (0, -2, 2, 0 | 0) .
Linha 2 - Linha 1:
(1-1, 2-2, 2-0, -1-(-1) | 4-2) Rightarrow (0, 0, 2, 0 | 2)
Linha 3 - Linha 1:
(3-3, 4-6, 4-0, -3-(-3) | 8-6) Rightarrow (0, -2, 4, 0 | 2)
Linha 4 - 3 * Linha 1:

Passo 9

Agora nossa matriz fica assim:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & -1 & 2 0 & -2 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 2 0 & -2 & 4 & 0 & 2 ]

Passo 10

Vamos simplificar a segunda linha dividindo por -2:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 2 0 & -2 & 4 & 0 & 2 ]

Passo 11

Agora, vamos eliminar o (0, -2 + 2(1), 4 + 2(-1), 0 + 2(0) | 2 + 2(0)) Rightarrow (0, 0, 2, 0 | 2) da quarta linha usando a segunda linha.
Linha 4 + 2 * Linha 2:

Passo 12

A matriz agora fica:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 0 & 2 ]

Passo 13

Perceba que a terceira e a quarta linhas são iguais. Então, podemos descartar a quarta linha e continuar com as três primeiras.

Passo 14

Resolvendo a terceira linha para 2z = 2 Rightarrow z = 1 :

Passo 15

Substituindo y - 1(1) = 0 Rightarrow y = 1 na segunda linha:

Passo 16

Agora, substituindo x + 2(1) + 0(1) - w = 2 Rightarrow x + 2 - w = 2 Rightarrow x - w = 0 Rightarrow x = w e na primeira linha:

Passo 17

Como temos uma variável livre (vamos escolher x = t, y = 1, z = 1, w = t , onde é qualquer número real), as soluções são:
Onde é um parâmetro real.

Passo 18

Item c): Vamos resolver o sistema homogêneo associado, que é o sistema onde o lado direito é zero:
A cdot [cx y z w] = [l0 0 0 0]

Passo 19

Seguindo o mesmo processo de eliminação de Gauss para a matriz aumentada:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & -1 & 0 1 & 0 & 2 & -1 & 0 1 & 2 & 2 & -1 & 0 3 & 4 & 4 & -3 & 0 ]

Passo 20

Subtraindo a primeira linha das linhas 2, 3 e 4:
Linha 2 - Linha 1:
(0, -2, 2, 0 | 0)
Linha 3 - Linha 1:
(0, 0, 2, 0 | 0)
Linha 4 - 3 * Linha 1:
(0, -2, 4, 0 | 0)

Passo 21

Simplificando a segunda linha dividindo por -2:
(0, 1, -1, 0 | 0)
E eliminando o (0, 0, 2, 0 | 0) da quarta linha:
Linha 4 + 2 * Linha 2:

Passo 22

Agora, temos:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 ]
Descartamos a quarta linha redundante.

Passo 23

Resolvendo a terceira linha para 2z = 0 Rightarrow z = 0 :

Passo 24

Substituindo y - 1(0) = 0 Rightarrow y = 0 na segunda linha:

Passo 25

Substituindo x + 2(0) + 0(0) - w = 0 Rightarrow x - w = 0 Rightarrow x = w e na primeira linha:

Passo 26

Então, a solução geral do sistema homogêneo é:
x = t, y = 0, z = 0, w = t
Onde é um parâmetro real.

Passo 27

Item d): Vamos verificar que toda solução do item b) é a soma de uma solução particular do item a) com uma solução do sistema homogêneo do item c).
A solução do item b) é:
x = t, y = 1, z = 1, w = t
Podemos escrever isso como:
(x, y, z, w) = (0, 0, 0, -2) + (t, 1, 1, t + 2)
Observando que a segunda parte corresponde à solução homogênea, ajustando os valores de .

Resposta

Conseguimos ver que toda solução do sistema original é a soma de uma solução particular (como ) com uma solução do sistema homogêneo (como ). Isso confirma o que o item d) pediu!

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