Dados vetores u=(2,1,2), v=(0,3,2) e w=(1,2,1), encontre, se existir, os escalares a, b, c tais que
a u+b v+c w=(8,4,6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou pede para encontrar os escalares , e que, quando multiplicados pelos vetores , e , resultam no vetor . Isso envolve conceitos de álgebra linear, mais especificamente a resolução de sistemas lineares. Vamos precisar montar um sistema de equações e resolver para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a expressão a cdot 2 + b cdot 0 + c cdot 1 = 8 (componente x) . Aqui, estamos combinando os vetores a cdot 1 + b cdot 3 + c cdot 2 = 4 (componente y) , a cdot 2 + b cdot 2 + c cdot 1 = 6 (componente z) e 2a + 0b + c = 8 a + 3b + 2c = 4 2a + 2b + c = 6 com os coeficientes , e para obter um novo vetor. Para isso, vamos multiplicar cada componente dos vetores pelos respectivos escalares e somar os resultados.
Vamos escrever isso componente a componente:
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 3

Vamos simplificar o sistema para facilitar a resolução. A primeira equação já está quase simplificada:
2a + c = 8
Podemos isolar c = 8 - 2a :
Isso nos permite expressar em termos de , o que é super útil para substituir nas outras equações.

Passo 4

Agora, vamos usar o valor de 2a + 2b + c = 6 que encontramos para substituir na terceira equação:
2a + 2b + (8 - 2a) = 6
Substituindo 2a + 2b + 8 - 2a = 6 :
2b + 8 = 6
Vamos simplificar isso:
2b = 6 - 8
Os termos 2b = -2 e b = -1 se cancelam:
Agora, isolamos :
Pronto, já encontramos o valor de !

Passo 5

Com a + 3b + 2c = 4 e sabendo que a + 3(-1) + 2(8 - 2a) = 4 , vamos substituir esses valores na segunda equação do sistema para encontrar a - 3 + 16 - 4a = 4 :
-3a + 13 = 4
Substituindo -3a = 4 - 13 e -3a = -9 :
a = 3
Vamos simplificar passo a passo:
Combine os termos semelhantes:
Isolando :

Passo 6

Agora que temos c = 8 - 2a , vamos encontrar c = 8 - 2(3) usando a expressão que encontramos anteriormente:
c = 8 - 6
Substituindo c = 2 :

Resposta

Os escalares que satisfazem a equação a = 3, b = -1, c = 2 são:

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