Calcule o determinante da seguinte matriz, efetuando a expansão ao longo da primeira coluna.
PESO: três.
10
4
6
15
8
4
2
4
6
3
2
4
25
10
14
35
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4. O determinante é uma ferramenta importante em álgebra linear que nos ajuda a entender propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos usar a expansão de determinantes ao longo da primeira coluna. Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da primeira coluna pelo seu cofator correspondente e somar tudo isso para obter o determinante final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula geral para a expansão do determinante ao longo da primeira coluna. Se temos uma matriz de ordem 4, o determinante é dado por:
Aqui, são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Passo 3
Agora, vamos identificar os elementos da primeira coluna e encontrar os seus cofatores. A primeira coluna da nossa matriz é:
Para cada elemento, vamos formar a matriz menor (removendo a linha e coluna do elemento) e calcular o determinante dessa matriz menor.
Passo 4
Vamos calcular cada cofator:
Cofator de :
A matriz menor é:
Calculando o determinante dessa matriz 3x3:
Então, .
Cofator de :
A matriz menor é:
Calculando o determinante:
Então, .
Cofator de :
A matriz menor é:
Calculando o determinante:
Então, .
Cofator de :
A matriz menor é:
Calculando o determinante:
Então, .
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores dos cofatores na fórmula do determinante: