Calcule o determinante da seguinte matriz, efetuando a expansão ao longo da primeira coluna.
PESO: três.
10 4 6 15
8 4 2 4
6 3 2 4
25 10 14 35

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4. O determinante é uma ferramenta importante em álgebra linear que nos ajuda a entender propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos usar a expansão de determinantes ao longo da primeira coluna. Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da primeira coluna pelo seu cofator correspondente e somar tudo isso para obter o determinante final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula geral para a expansão do determinante ao longo da primeira coluna. Se temos uma matriz det(A) = a11 cdot C11 - a21 cdot C21 + a31 cdot C31 - a41 cdot C41 de ordem 4, o determinante é dado por:
Aqui, são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos da primeira coluna e encontrar os seus cofatores. A primeira coluna da nossa matriz é:
10 8 6 25
Para cada elemento, vamos formar a matriz menor (removendo a linha e coluna do elemento) e calcular o determinante dessa matriz menor.

Passo 4

Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator de 4 & 2 & 4 3 & 2 & 4 10 & 14 & 35 :
    A matriz menor é:
    det = 4(2 cdot 35 - 4 cdot 14) - 2(3 cdot 35 - 4 cdot 10) + 4(3 cdot 14 - 2 cdot 10)
    Calculando o determinante dessa matriz 3x3:
    det = 4(70 - 56) - 2(105 - 40) + 4(42 - 20)
    det = 4(14) - 2(65) + 4(22) = 56 - 130 + 88 = 14
    4 & 6 & 15 3 & 2 & 4 10 & 14 & 35
    Então, det = 4(2 cdot 35 - 4 cdot 14) - 6(3 cdot 35 - 4 cdot 10) + 15(3 cdot 14 - 2 cdot 10) .
  2. Cofator de det = 4(70 - 56) - 6(105 - 40) + 15(42 - 20) :
    A matriz menor é:
    det = 4(14) - 6(65) + 15(22) = 56 - 390 + 330 = -4
    Calculando o determinante:
    4 & 6 & 15 4 & 2 & 4 10 & 14 & 35
    det = 4(2 cdot 35 - 4 cdot 14) - 6(4 cdot 35 - 4 cdot 10) + 15(4 cdot 14 - 2 cdot 10)
    det = 4(70 - 56) - 6(140 - 40) + 15(56 - 20)
    Então, det = 4(14) - 6(100) + 15(36) = 56 - 600 + 540 = -4 .
  3. Cofator de 4 & 6 & 15 4 & 2 & 4 3 & 2 & 4 :
    A matriz menor é:
    det = 4(2 cdot 4 - 4 cdot 2) - 6(4 cdot 4 - 4 cdot 3) + 15(4 cdot 2 - 2 cdot 3)
    Calculando o determinante:
    det = 4(8 - 8) - 6(16 - 12) + 15(8 - 6)
    det = 4(0) - 6(4) + 15(2) = 0 - 24 + 30 = 6
    Então, .
  4. Cofator de :
    A matriz menor é:
    Calculando o determinante:
    Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dos cofatores na fórmula do determinante:
det(A) = 10 cdot 14 - 8 cdot (-4) + 6 cdot (-4) - 25 cdot 6
Calculando cada termo:
10 cdot 14 = 140
-8 cdot (-4) = 32
6 cdot (-4) = -24
-25 cdot 6 = -150
Somando tudo:
140 + 32 - 24 - 150 = -2

Resposta

O determinante da matriz é .

Exercícios relacionados