Calcule o determinante da seguinte matriz, efetuando a expansão ao longo da primeira coluna.
PESO: três.
10 4 6 15
8 4 2 4
6 3 2 4
25 10 14 35

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4. O determinante é uma ferramenta importante em álgebra linear que nos ajuda a entender propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos usar a expansão de determinantes ao longo da primeira coluna. Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da primeira coluna pelo seu cofator correspondente e somar tudo isso para obter o determinante final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula geral para a expansão do determinante ao longo da primeira coluna. Se temos uma matriz de ordem 4, o determinante é dado por:
Aqui, são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos da primeira coluna e encontrar os seus cofatores. A primeira coluna da nossa matriz é:
Para cada elemento, vamos formar a matriz menor (removendo a linha e coluna do elemento) e calcular o determinante dessa matriz menor.

Passo 4

Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator de :
    A matriz menor é:
    Calculando o determinante dessa matriz 3x3:
    Então, .
  2. Cofator de :
    A matriz menor é:
    Calculando o determinante:
    Então, .
  3. Cofator de :
    A matriz menor é:
    Calculando o determinante:
    Então, .
  4. Cofator de :
    A matriz menor é:
    Calculando o determinante:
    Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dos cofatores na fórmula do determinante:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

O determinante da matriz é .

Exercícios relacionados

Sendo e , calcule:
(a) .
(b) .
© .
Obtenha a matriz transposta de
(b) .
Estude a posiçāo relativa das retas
Dadas as matrizes e , calcule:
(b) .