Estude a posiçāo relativa das retas r:x-32=y-1=z1 e s:l x=5 y=2+3 lambda z=3-lambda (lambda in R)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para gente analisar a posição relativa das retas e no espaço. A matéria envolve equações de retas no espaço e conceitos como retas paralelas, coincidentes, ou que se cruzam (intersectam). Para resolver, vamos precisar das equações paramétricas das duas retas e verificar a relação entre seus vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas x - 32 = y-1 = z1 = t (onde t in R) e x = 3 + 2t y = -t z = t .
Para a reta x = 5 y = 2 + 3lambda z = 3 - lambda (lambda in R) :
Podemos separar isso em:
Para a reta :

Passo 3

Agora, identificamos os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor mostra a direção em que a reta está apontando.
Para a reta dr = 2 -1 1 , olhando para os coeficientes de ds = 0 3 -1 :
Para a reta , olhando para os coeficientes de :

Passo 4

Vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores são proporcionais, ou seja, existe um número 2 = 0 cdot k -1 = 3 cdot k 1 = -1 cdot k tal que .
Comparando os vetores:
A primeira equação não tem solução para , o que significa que os vetores diretores não são proporcionais. Portanto, as retas e não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de 3 + 2t = 5 -t = 2 + 3lambda t = 3 - lambda e 3 + 2t = 5 Rightarrow 2t = 2 Rightarrow t = 1 que satisfaçam as equações das duas retas simultaneamente.
Igualando as coordenadas:
1 = 3 - lambda Rightarrow lambda = 2
Vamos resolver essas equações:
Da primeira equação:
-1 = 2 + 3(2) Rightarrow -1 = 2 + 6 Rightarrow -1 = 8
Usando na terceira equação:
Agora, vamos verificar a segunda equação com :
Isso não é verdade, então não existe valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Passo 6

Como as retas e não são paralelas e não se intersectam, concluímos que elas são retas seculares (ou “skew lines” em inglês), ou seja, retas que não estão no mesmo plano e não se cruzam.

Resposta

As retas e são retas seculares, ou seja, não são paralelas e nem se intersectam.

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