Calcule o determinante das seguintes matrizes:
B=[cccc4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente calcular o determinante de uma matriz 4x4. Determinantes são números que nos dão informações importantes sobre a matriz, como se ela tem inversa ou não. Para calcular o determinante de uma matriz maior que 2x2, como essa 4x4, vamos usar a Regra de Laplace, também conhecida como expansão por cofatores. Essa regra nos ajuda a quebrar matrizes grandes em menores para facilitar os cálculos. Vamos escolher a segunda linha da matriz porque ela tem dois elementos iguais a zero, o que deixa os cálculos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a expansão por cofatores. A ideia é que o determinante da matriz 4x4 pode ser calculado somando os produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos seus cofatores correspondentes. Os cofatores levam em conta os sinais alternados e os determinantes das matrizes menores que sobraram quando removemos a linha e a coluna do elemento escolhido.
Nossa matriz é:
B = 4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1
Vamos focar na segunda linha: . Como os últimos dois elementos são zeros, só precisamos calcular os cofatores dos dois primeiros elementos (3 e -1).

Passo 3

Vamos calcular o determinante usando a segunda linha. A fórmula geral para expansão por cofatores na segunda linha é:
det(B) = a21 cdot C21 + a22 cdot C22 + a23 cdot C23 + a24 cdot C24
Como det(B) = 3 cdot C21 + (-1) cdot C22 e , esses termos vão ser zero e podemos ignorar. Então, temos:
Aqui, e são os cofatores dos elementos e , respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator M21 = -1 & 2 & -2 3 & 1 & 0 7 & 1 & 1 :
    • Primeiro, removemos a segunda linha e a primeira coluna de C21 = (-1)^2+1 cdot det(M21) = -det(M21) :
      det(M21) = -1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 2 cdot (3 cdot 1 - 0 cdot 7) + (-2) cdot (3 cdot 1 - 1 cdot 7)
    • O cofator é dado por:
      = -1 cdot (1 - 0) - 2 cdot (3 - 0) + (-2) cdot (3 - 7)
    • Calculando = -1 - 6 + (-2)(-4) = -1 - 6 + 8 = 1 :
      C21 = -1
      M22 = 4 & 2 & -2 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1
      C22 = (-1)^2+2 cdot det(M22) = det(M22)
    • Então:
      det(M22) = 4 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 2 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 0) + (-2) cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 0)
  2. Cofator = 4 cdot (1 - 0) - 2 cdot (2 - 0) + (-2) cdot (2 - 0) :
    • Removemos a segunda linha e a segunda coluna de = 4 - 4 - 4 = -4 :
      C22 = -4
    • O cofator é:
    • Calculando :
    • Então:

Passo 5

Agora que temos os cofatores, podemos calcular o determinante:
det(B) = 3 cdot C21 + (-1) cdot C22 = 3 cdot (-1) + (-1) cdot (-4) = -3 + 4 = 1

Resposta

O determinante da matriz é 1.

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