Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz que é uma matriz 4x4. Para isso, vamos usar o conteúdo de determinantes de matrizes, especificamente a expansão por menores (também conhecida como expansão de cofatores). Vamos precisar entender como calcular menores e cofatores para conseguir chegar no valor final do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada pode ser calculado expandindo-a por uma linha ou coluna. A escolha da linha ou coluna pode facilitar os cálculos, especialmente se houver zerinhos. Olhando para a matriz A = 3 & -1 & 5 & 0 0 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 1 & 2 & 0 :
Vamos escolher expandir pela segunda linha, porque ela tem menos elementos para multiplicar, já que temos um zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a expansão por menores na segunda linha. A fórmula geral para o determinante usando a segunda linha é:
det(A) = a21C21 + a22C22 + a23C23 + a24C24
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos calcular cada termo da soma:
Para 0 times C21 = 0 :
C22 = (-1)^2+2 times det(M22) = 1 times det(M22)
Como é zero, não precisamos calcular o cofator.
Para M22 = 3 & 5 & 0 2 & -1 & 3 1 & 2 & 0 :
0 times C23 = 0
Onde C24 = (-1)^2+4 times det(M24) = 1 times det(M24) é a matriz resultante de remover a segunda linha e segunda coluna de M24 = 3 & -1 & 5 2 & 0 & -1 1 & 1 & 2 :
Para :
Também é zero, então não precisamos calcular.
Para :
Onde é:
Passo 5
Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes menores M22 = 3 & 5 & 0 2 & -1 & 3 1 & 2 & 0 e det(M22) = 3 times -1 & 3 2 & 0 - 5 times 2 & 3 1 & 0 + 0 times 2 & -1 1 & 2 .
Calculando 3 times [(-1)(0) - (3)(2)] = 3 times (0 - 6) = 3 times (-6) = -18 :
-5 times [(2)(0) - (3)(1)] = -5 times (0 - 3) = -5 times (-3) = 15
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores para 3x3, vamos expandir pela primeira linha:
0 times qualquer coisa = 0
Calculando cada determinante menor:
-18 + 15 + 0 = -3
M24 = 3 & -1 & 5 2 & 0 & -1 1 & 1 & 2
det(M24) = 3 times 0 & -1 1 & 2 - (-1) times 2 & -1 1 & 2 + 5 times 2 & 0 1 & 1
Somando tudo:
3 times [(0)(2) - (-1)(1)] = 3 times (0 + 1) = 3
Então, +1 times [(2)(2) - (-1)(1)] = 1 times (4 + 1) = 5 .
Calculando +5 times [(2)(1) - (0)(1)] = 5 times (2 - 0) = 10 :
3 + 5 + 10 = 18
Vamos também expandir pela primeira linha:
Calculando cada determinante menor:
Somando tudo:
Então, .
Passo 6
Agora, voltando à expansão original na segunda linha: