Determine se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira.
© u, v e (u+v) times(u-v) são L.I. no espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se os vetores , e são linearmente independentes (L.I.) no espaço tridimensional. Isso envolve o estudo de combinação linear e independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem L.I. e como o produto vetorial funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear não trivial deles resulta no vetor zero. Em outras palavras, a única solução para a equação é .
Aqui, temos três vetores no espaço tridimensional:
Vamos verificar se existe alguma combinação desses vetores que resulte no vetor zero além da trivial.

Passo 3

Vamos analisar o terceiro vetor . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. Portanto, esse vetor será perpendicular a e a .
Além disso, sabemos que se dois vetores são paralelos, o produto vetorial entre eles será o vetor zero. Então, vamos verificar se e são paralelos ou não.

Passo 4

Para que u + v = k (u - v) e u + v = ku - kv sejam paralelos, deve existir um escalar (1 - k)u + (1 + k)v = 0 tal que:
Resolvendo essa equação:
Separando os termos de e :
Para que isso seja verdadeiro apenas com , precisamos que e . Mas isso implica que e simultaneamente, o que é impossível. Portanto, e não são paralelos, e o produto vetorial não é o vetor zero.

Passo 5

Agora, vamos supor que existe uma combinação linear dos três vetores que resulta no vetor zero:
au + bv + c[(u + v) times (u - v)] = 0
Como a(u cdot u) + b(v cdot u) + c[(u + v) times (u - v) cdot u] = 0 é perpendicular a a|u|^2 + b(v cdot u) = 0 e a(u cdot v) + b|v|^2 = 0 , podemos tomar o produto escalar dessa equação com e para simplificar.
Tomando o produto escalar com :
Como o produto vetorial é perpendicular a , o último termo é zero:
Fazendo o mesmo com :
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas (a e b). A menos que e sejam colineares (o que já sabemos que não são, pois o produto vetorial não é zero), a única solução para esse sistema será . Substituindo de volta na equação original, também teremos . Portanto, a única solução é a trivial.

Resposta

As afirmações são verdadeiras. Os vetores , e são linearmente independentes no espaço.

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