Determine se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira.
©
e
são L.I. no espaço.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se os vetores
,
e
são linearmente independentes (L.I.) no espaço tridimensional. Isso envolve o estudo de combinação linear e independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem L.I. e como o produto vetorial funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear não trivial deles resulta no vetor zero. Em outras palavras, a única solução para a equação
é
.
Aqui, temos três vetores no espaço tridimensional:
Vamos verificar se existe alguma combinação desses vetores que resulte no vetor zero além da trivial.
Passo 3
Vamos analisar o terceiro vetor
. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. Portanto, esse vetor será perpendicular a
e a
.
Além disso, sabemos que se dois vetores são paralelos, o produto vetorial entre eles será o vetor zero. Então, vamos verificar se
e
são paralelos ou não.
Passo 4
Para que
e
sejam paralelos, deve existir um escalar
tal que:
Resolvendo essa equação:
Separando os termos de
e
:
Para que isso seja verdadeiro apenas com
, precisamos que
e
. Mas isso implica que
e
simultaneamente, o que é impossível. Portanto,
e
não são paralelos, e o produto vetorial
não é o vetor zero.
Passo 5
Agora, vamos supor que existe uma combinação linear dos três vetores que resulta no vetor zero:
Como
é perpendicular a
e
, podemos tomar o produto escalar dessa equação com
e
para simplificar.
Tomando o produto escalar com
:
Como o produto vetorial é perpendicular a
, o último termo é zero:
Fazendo o mesmo com
:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas (a e b). A menos que
e
sejam colineares (o que já sabemos que não são, pois o produto vetorial não é zero), a única solução para esse sistema será
. Substituindo de volta na equação original, também teremos
. Portanto, a única solução é a trivial.
Resposta
As afirmações são verdadeiras. Os vetores
,
e
são linearmente independentes no espaço.