Calcule o determinante das seguintes matrizes:
A=[ccc 2 & -1 & 0 4 & 2 & -3 3 & 1 & 2 ] B=[rrrr 5 & 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 1 & 0 3 & 4 & 2 & -1 0 & 4 & 0 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de duas matrizes: uma 3x3 chamada e uma 4x4 chamada . O determinante é um número especial que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos usar métodos de cálculo de determinantes para matrizes de diferentes tamanhos, incluindo a regra de Sarrus para matrizes 3x3 e a expansão por cofatores para matrizes maiores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & -1 & 0 4 & 2 & -3 3 & 1 & 2 , que é uma matriz 3x3. Para isso, podemos usar a regra de Sarrus, que é uma maneira fácil de encontrar determinantes para matrizes 3x3.
A matriz é:

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus, a fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 4

Identificando os elementos da matriz a = 2, b = -1, c = 0 :
d = 4, e = 2, f = -3
g = 3, h = 1, i = 2

Passo 5

Substituindo na fórmula:
det(A) = 2 times (2 times 2 - (-3) times 1) - (-1) times (4 times 2 - (-3) times 3) + 0 times (4 times 1 - 2 times 3)

Passo 6

Calculando os termos:
2 times (4 + 3) = 2 times 7 = 14
-(-1) times (8 + 9) = 1 times 17 = 17
0 times (4 - 6) = 0 times (-2) = 0

Passo 7

Somando tudo:
det(A) = 14 + 17 + 0 = 31

Passo 8

Agora, vamos para a matriz B = 5 & 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 1 & 0 3 & 4 & 2 & -1 0 & 4 & 0 & 0 , que é uma matriz 4x4:
Para calcular o determinante de uma matriz maior que 3x3, vamos usar a expansão por cofatores. Isso envolve escolher uma linha ou coluna e expandir o determinante em termos de menores e cofatores.

Passo 9

Vamos escolher a primeira linha para facilitar os cálculos. A fórmula para a expansão por cofatores na primeira linha é:
det(B) = b11C11 + b12C12 + b13C13 + b14C14
Onde e é o menor da matriz, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .

Passo 10

Identificando os elementos da primeira linha de b11 = 5, b12 = 1, b13 = 0, b14 = 3 :

Passo 11

Calculando os cofatores:
C11 = (-1)^1+1 times det( 2 & 1 & 0 4 & 2 & -1 4 & 0 & 0 ) = 1 times det( 2 & 1 & 0 4 & 2 & -1 4 & 0 & 0 )
C12 = (-1)^1+2 times det( -1 & 1 & 0 3 & 2 & -1 0 & 0 & 0 ) = -1 times det( -1 & 1 & 0 3 & 2 & -1 0 & 0 & 0 )
C13 = (-1)^1+3 times det( -1 & 2 & 0 3 & 4 & -1 0 & 4 & 0 ) = 1 times det( -1 & 2 & 0 3 & 4 & -1 0 & 4 & 0 )
C14 = (-1)^1+4 times det( -1 & 2 & 1 3 & 4 & 2 0 & 4 & 0 ) = -1 times det( -1 & 2 & 1 3 & 4 & 2 0 & 4 & 0 )

Passo 12

Agora, vamos calcular cada determinante menor:
  1. Para det( 2 & 1 & 0 4 & 2 & -1 4 & 0 & 0 ) = 2 times (2 times 0 - (-1) times 0) - 1 times (4 times 0 - (-1) times 4) + 0 times (4 times 0 - 2 times 4) = 0 - (0 + 4) + 0 = -4 :
C11 = 1 times (-4) = -4
Então,
det( -1 & 1 & 0 3 & 2 & -1 0 & 0 & 0 ) = (-1) times (2 times 0 - (-1) times 0) - 1 times (3 times 0 - (-1) times 0) + 0 times (3 times 0 - 2 times 0) = 0 - 0 + 0 = 0
  1. Para C12 = -1 times 0 = 0 :
det( -1 & 2 & 0 3 & 4 & -1 0 & 4 & 0 ) = -1 times (4 times 0 - (-1) times 4) - 2 times (3 times 0 - (-1) times 0) + 0 times (3 times 4 - 4 times 0) = -1 times 4 - 2 times 0 + 0 = -4
Então,
C13 = 1 times (-4) = -4
  1. Para det( -1 & 2 & 1 3 & 4 & 2 0 & 4 & 0 ) = -1 times (4 times 0 - 2 times 4) - 2 times (3 times 0 - 2 times 0) + 1 times (3 times 4 - 4 times 0) = -1 times (-8) - 2 times 0 + 1 times 12 = 8 + 0 + 12 = 20 :
C14 = -1 times 20 = -20
Então,
  1. Para :
Então,

Passo 13

Agora, substituindo os cofatores na fórmula da expansão:
det(B) = 5 times (-4) + 1 times 0 + 0 times (-4) + 3 times (-20) = -20 + 0 + 0 - 60 = -80

Resposta

O determinante da matriz é e o determinante da matriz é .

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