Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de duas matrizes: uma 3x3 chamada e uma 4x4 chamada . O determinante é um número especial que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos usar métodos de cálculo de determinantes para matrizes de diferentes tamanhos, incluindo a regra de Sarrus para matrizes 3x3 e a expansão por cofatores para matrizes maiores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & -1 & 0 4 & 2 & -3 3 & 1 & 2 , que é uma matriz 3x3. Para isso, podemos usar a regra de Sarrus, que é uma maneira fácil de encontrar determinantes para matrizes 3x3.
A matriz é:
Passo 3
Aplicando a regra de Sarrus, a fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Passo 4
Identificando os elementos da matriz a = 2, b = -1, c = 0 :
d = 4, e = 2, f = -3
g = 3, h = 1, i = 2
Passo 5
Substituindo na fórmula:
det(A) = 2 times (2 times 2 - (-3) times 1) - (-1) times (4 times 2 - (-3) times 3) + 0 times (4 times 1 - 2 times 3)
Passo 6
Calculando os termos:
2 times (4 + 3) = 2 times 7 = 14
-(-1) times (8 + 9) = 1 times 17 = 17
0 times (4 - 6) = 0 times (-2) = 0
Passo 7
Somando tudo:
det(A) = 14 + 17 + 0 = 31
Passo 8
Agora, vamos para a matriz B = 5 & 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 1 & 0 3 & 4 & 2 & -1 0 & 4 & 0 & 0 , que é uma matriz 4x4:
Para calcular o determinante de uma matriz maior que 3x3, vamos usar a expansão por cofatores. Isso envolve escolher uma linha ou coluna e expandir o determinante em termos de menores e cofatores.
Passo 9
Vamos escolher a primeira linha para facilitar os cálculos. A fórmula para a expansão por cofatores na primeira linha é:
det(B) = b11C11 + b12C12 + b13C13 + b14C14
Onde e é o menor da matriz, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .
Passo 10
Identificando os elementos da primeira linha de b11 = 5, b12 = 1, b13 = 0, b14 = 3 :