Verifique se é retângulo o triângulo cujos vértices são A=(-2,1), B=(3,1) e C=(3,-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com os vértices em , e . Nosso objetivo é descobrir se esse triângulo é retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre dois pontos no plano e o Teorema de Pitágoras para verificar se há um ângulo de 90 graus.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as comprimentos dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos calcular as distâncias entre e , e , e e .

Passo 3

Calculando a distância entre dAB = raiz(3 - (-2))^2 + (1 - 1)^2 = raiz(5)^2 + (0)^2 = raiz25 = 5 e :

Passo 4

Calculando a distância entre dBC = raiz(3 - 3)^2 + (-4 - 1)^2 = raiz(0)^2 + (-5)^2 = raiz25 = 5 e :

Passo 5

Calculando a distância entre dAC = raiz(3 - (-2))^2 + (-4 - 1)^2 = raiz(5)^2 + (-5)^2 = raiz25 + 25 = raiz50 approx 7,07 e :

Passo 6

Agora que temos os comprimentos dos lados: 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 , 7,07^2 approx 50 e , vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para verificar se algum ângulo é reto. Segundo o teorema, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado mais longo) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.
Vamos verificar:
Como , isso confirma que o triângulo tem um ângulo de 90 graus.

Resposta

Sim, o triângulo com vértices em , e é retângulo.

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