Resolva o seguinte sistema usando eliminação de guass (escalonamento).
c 10 x1+2 x2+x3=7 x1+5 x2+x3=-8 2 x1+3 x2+10 x3=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas de equações lineares e encontrar as soluções. O sistema que temos é:
c 10x1 + 2x2 + x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
Vamos precisar trabalhar com matrizes aumentadas e operações elementares para escalar e eliminar variáveis, de modo a chegar a uma forma mais simples onde podemos encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
10 & 2 & 1 & | & 7 1 & 5 & 1 & | & -8 2 & 3 & 10 & | & 6

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal temos apenas zeros. Começamos eliminando Linha2 = Linha2 - (110 times Linha1) das segunda e terceira linhas.
Primeiro, vamos eliminar 1 - 1010 = 0 5 - 210 = 5 - 0.2 = 4.8 1 - 110 = 0.9 -8 - 710 = -8.7 da segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por [0 4.8 0.9 | -8.7] e subtraímos da segunda linha:
Fazendo as contas:
Então, a nova segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar Linha3 = Linha3 - (0.2 times Linha1) da terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 2 - (0.2 times 10) = 2 - 2 = 0 3 - (0.2 times 2) = 3 - 0.4 = 2.6 10 - (0.2 times 1) = 10 - 0.2 = 9.8 6 - (0.2 times 7) = 6 - 1.4 = 4.6 e subtraímos da terceira linha:
[0 2.6 9.8 | 4.6]
Calculando:
10 & 2 & 1 & | & 7 0 & 4.8 & 0.9 & | & -8.7 0 & 2.6 & 9.8 & | & 4.6
A nova terceira linha fica:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 5

Vamos continuar eliminando para chegar na forma triangular. Agora, queremos eliminar Linha3 = Linha3 - 0.5417 times Linha2 da terceira linha. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 0 - 0.5417 times 0 = 0 2.6 - 0.5417 times 4.8 approx 2.6 - 2.6 = 0 9.8 - 0.5417 times 0.9 approx 9.8 - 0.4875 = 9.3125 4.6 - 0.5417 times (-8.7) approx 4.6 + 4.7 = 9.3 e subtrair da terceira linha.
Primeiro, calculamos [0 0 9.3125 | 9.3] .
Então:
10 & 2 & 1 & | & 7 0 & 4.8 & 0.9 & | & -8.7 0 & 0 & 9.3125 & | & 9.3
Calculando cada elemento:
A nova terceira linha fica:
Agora, nossa matriz está na forma triangular:

Passo 6

Com a matriz triangular, podemos resolver o sistema começando pela última equação. A terceira equação é:
9.3125x3 = 9.3
Para encontrar x3 = 9.39.3125 approx 1 , dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Agora que temos 4.8x2 + 0.9x3 = -8.7 , podemos substituir esse valor na segunda equação para encontrar 4.8x2 + 0.9 = -8.7 4.8x2 = -8.7 - 0.9 4.8x2 = -9.6 x2 = -9.64.8 = -2 :
Substituindo :

Passo 8

Finalmente, com 10x1 + 2x2 + x3 = 7 e 10x1 + 2(-2) + 1 = 7 10x1 - 4 + 1 = 7 10x1 - 3 = 7 10x1 = 10 x1 = 1 encontrados, substituímos esses valores na primeira equação para encontrar :
Substituindo e :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 1, x2 = -2, x3 = 1

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