Verifique quais dos operadores a seguir são diagonalizáveis.
T: R^2 longrightarrow R^2 tal que T(x, y)=(x+y, 2 x+y);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por . Nosso objetivo é verificar se esse operador é diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Para começar, vamos representar o operador T(e1) = T(1, 0) = (1 + 0, 2 cdot 1 + 0) = (1, 2) por uma matriz. Se considerarmos a base canônica de T(e2) = T(0, 1) = (0 + 1, 2 cdot 0 + 1) = (1, 1) , ou seja, os vetores A = 1 & 1 2 & 1 e , podemos encontrar a matriz de aplicando a cada vetor da base:
Assim, a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde A - lambda I = 1 - lambda & 1 2 & 1 - lambda é a matriz identidade det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (2)(1) = (1 - lambda)^2 - 2 e (1 - lambda)^2 - 2 = 0 (1 - lambda)^2 = 2 1 - lambda = pm raiz2 lambda = 1 mp raiz2 representa os autovalores. Calculando:
lambda1 = 1 + raiz2, lambda2 = 1 - raiz2
O determinante é:
Resolvendo a equação:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos verificar se temos dois autovetores linearmente independentes associados a esses autovalores. Se sim, a matriz A - lambda1 I = 1 - (1 + raiz2) & 1 2 & 1 - (1 + raiz2) = - raiz2 & 1 2 & - raiz2 será diagonalizável.
Vamos começar com - raiz2 v1 + v2 = 0 2 v1 - raiz2 v2 = 0 . Encontramos o autovetor resolvendo v1 = 1 raiz2 :
A - lambda2 I = 1 - (1 - raiz2) & 1 2 & 1 - (1 - raiz2) = raiz2 & 1 2 & raiz2
Resolvendo o sistema:
raiz2 v1 + v2 = 0 2 v1 + raiz2 v2 = 0
Da primeira equação, temos v2 = 1 - raiz2 . Podemos escolher , então . Assim, um autovetor associado a é:
Agora, para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Escolhendo , temos . Portanto, um autovetor associado a é:

Passo 5

Como encontramos dois autovalores distintos e , e cada um possui um autovetor não nulo correspondente, esses autovetores são linearmente independentes. Isso significa que a matriz pode ser diagonalizada.

Resposta

O operador é diagonalizável.

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