Verifique quais dos operadores a seguir são diagonalizáveis.
tal que
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear
definido por
. Nosso objetivo é verificar se esse operador é diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Para começar, vamos representar o operador
por uma matriz. Se considerarmos a base canônica de
, ou seja, os vetores
e
, podemos encontrar a matriz de
aplicando
a cada vetor da base:
Assim, a matriz de
na base canônica é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade
e
representa os autovalores. Calculando:
O determinante é:
Resolvendo a equação:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos verificar se temos dois autovetores linearmente independentes associados a esses autovalores. Se sim, a matriz
será diagonalizável.
Vamos começar com
. Encontramos o autovetor resolvendo
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, temos
. Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor associado a
é:
Agora, para
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Escolhendo
, temos
. Portanto, um autovetor associado a
é:
Passo 5
Como encontramos dois autovalores distintos
e
, e cada um possui um autovetor não nulo correspondente, esses autovetores são linearmente independentes. Isso significa que a matriz
pode ser diagonalizada.
Resposta
O operador
é diagonalizável.