Calcule o determinante das seguintes matrizes
(d)
[ccc 3 a & 3 b & 3 c d / 2 & e / 2 & f / 2 -g & -h & -i ]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o determinante de uma matriz 3x3. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de determinantes de matrizes, que é uma parte importante da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3 usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz que precisamos calcular o determinante:
3a & 3b & 3c d2 & e2 & f2 -g & -h & -i

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus, que envolve multiplicar os elementos das diagonais principais e secundárias e depois subtrair os produtos correspondentes.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus, o determinante (det) é calculado da seguinte forma:
det = (3a cdot e2 cdot (-i)) + (3b cdot f2 cdot (-g)) + (3c cdot d2 cdot (-h)) - [ (-g) cdot e2 cdot 3c + (-h) cdot f2 cdot 3a + (-i) cdot d2 cdot 3b ]

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
E para os termos que serão subtraídos:

Passo 6

Substituindo os termos simplificados na expressão do determinante:
det = (-3a e i2) + (-3b f g2) + (-3c d h2) - [ (-3c e g2) + (-3a f h2) + (-3b d i2) ]

Passo 7

Agora, vamos distribuir o sinal de subtração:
det = -3a e i2 - 3b f g2 - 3c d h2 + 3c e g2 + 3a f h2 + 3b d i2

Passo 8

Podemos fatorar o det = 32 ( -a e i - b f g - c d h + c e g + a f h + b d i ) comum a todos os termos:

Passo 9

Agora, organizando os termos:
det = 32 ( (c e g - b f g) + (a f h - c d h) + (b d i - a e i) )

Passo 10

Este é o determinante simplificado da matriz fornecida. Portanto:
det = 32 ( c e g - b f g + a f h - c d h + b d i - a e i )

Resposta

O determinante da matriz dada é:
det = 32 ( c e g - b f g + a f h - c d h + b d i - a e i )

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