Calcule os determinantes das seguintes matrizes
(a)
[cccos theta & -sin theta sin theta & cos theta]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o determinante da matriz:
cos theta & -sin theta sin theta & cos theta
Aqui, estamos trabalhando com determinantes de matrizes, que é um conceito de álgebra linear. Para resolver isso, precisamos saber a fórmula do determinante para matrizes 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o determinante de uma matriz 2x2. Se tivermos uma matriz geral:
a & b c & d
O determinante dessa matriz é calculado assim:
det = a cdot d - b cdot c
Isso significa que multiplicamos os elementos da diagonal principal (a e d) e subtraímos o produto dos elementos da diagonal secundária (b e c).

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula na matriz que temos:
cos theta & -sin theta sin theta & cos theta
Identificando os elementos:

Passo 4

Aplicando a fórmula do determinante:
det = a cdot d - b cdot c = cos theta cdot cos theta - (-sin theta) cdot sin theta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
det = cos^2 theta + sin^2 theta
Porque menos vezes menos é mais.

Passo 6

Sabemos de identidade trigonométrica que:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1
Essa é uma das identidades fundamentais da trigonometria.

Resposta

O determinante da matriz é igual a 1.

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