O traço de uma matrix é, por definição, a soma dos elementos na diagonal. Prove que o espaço gerado pelas matrizes tais que simétricas, tem todos os elementos com traço nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre traço de uma matriz, que é a soma dos elementos na diagonal principal. A gente precisa provar que, se pegarmos matrizes simétricas e de tamanho e formarmos a matriz comutador , então o traço de qualquer matriz desse tipo será zero. Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de matrizes simétricas e do traço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos acima da diagonal principal são iguais aos abaixo dela.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o comutador de duas matrizes, que é definido como . Esse comutador mede o quanto duas matrizes não comutam, ou seja, o quanto é diferente de .

Passo 4

Queremos calcular o traço de , ou seja, . Sabemos que o traço é uma função linear, então podemos separar isso em .

Passo 5

Uma propriedade importante do traço é que para quaisquer matrizes e . Isso acontece porque ao multiplicar as matrizes, os produtos correspondentes na diagonal principal se rearranjam, mas a soma total permanece a mesma.

Passo 6

Aplicando essa propriedade, temos que . Ou seja, o traço de qualquer comutador de matrizes simétricas é zero.

Resposta

O traço de qualquer matriz formada por matrizes simétricas e é nulo, ou seja, .

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(d)
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8
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(a) .