O traço de uma matrix é, por definição, a soma dos elementos na diagonal. Prove que o espaço gerado pelas matrizes
tais que
simétricas, tem todos os elementos com traço nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre traço de uma matriz, que é a soma dos elementos na diagonal principal. A gente precisa provar que, se pegarmos matrizes simétricas
e
de tamanho
e formarmos a matriz comutador
, então o traço de qualquer matriz
desse tipo será zero. Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de matrizes simétricas e do traço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se for igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que os elementos acima da diagonal principal são iguais aos abaixo dela.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o comutador de duas matrizes, que é definido como
. Esse comutador mede o quanto duas matrizes não comutam, ou seja, o quanto
é diferente de
.
Passo 4
Queremos calcular o traço de
, ou seja,
. Sabemos que o traço é uma função linear, então podemos separar isso em
.
Passo 5
Uma propriedade importante do traço é que
para quaisquer matrizes
e
. Isso acontece porque ao multiplicar as matrizes, os produtos correspondentes na diagonal principal se rearranjam, mas a soma total permanece a mesma.
Passo 6
Aplicando essa propriedade, temos que
. Ou seja, o traço de qualquer comutador de matrizes simétricas é zero.
Resposta
O traço de qualquer matriz
formada por matrizes simétricas
e
é nulo, ou seja,
.