1. Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas e esboce o gráfico:
    (a) [1 ponto] Parábola: Vértice: (0,0), reta diretriz: x=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice em e uma reta diretriz . Vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente a definição de parábola baseada na distância ao foco e à diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão igualmente distantes de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz. No nosso caso, a diretriz é a reta .

Passo 3

Como o vértice da parábola é e a diretriz é , podemos determinar a posição do foco. Sabemos que a distância entre o vértice e a diretriz é igual à distância entre o vértice e o foco. Então, se a diretriz está a 3 unidades do vértice na direção positiva do eixo x, o foco estará a 3 unidades na direção contrária, ou seja, em .
Então, o foco está em .

Passo 4

Vamos usar a definição de parábola: para qualquer ponto raiz(x + 3)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x + 3)^2 + y^2 na parábola, a distância até o foco |x - 3| deve ser igual à distância até a diretriz .
A distância até o foco é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
A distância até a diretriz é simplesmente a diferença de coordenadas em x:

Passo 5

Igualando as duas distâncias:
raiz(x + 3)^2 + y^2 = |x - 3|
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 3)^2 + y^2 = (x - 3)^2

Passo 6

Expandindo os termos:
x^2 + 6x + 9 + y^2 = x^2 - 6x + 9
Simplificando, cancelamos 6x + y^2 = -6x e 9 dos dois lados:

Passo 7

Vamos isolar os termos de 6x + 6x + y^2 = 0 12x + y^2 = 0 :
y^2 = -12x
Então, a equação fica:

Resposta

A equação da parábola é .

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