Escreva a equação da hipérbole em cada um dos casos abaixo:
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e
.
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Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício que pede para escrever a equação de uma hipérbole. A gente vai precisar entender sobre os focos da hipérbole e o parâmetro a. No caso, os focos são
e
, e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os focos estão em
e
, o centro fica no ponto médio entre eles. Calculando:
Então, o centro é na origem
.
Passo 3
Sabemos que para uma hipérbole com eixo transversal vertical, a equação geral é:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado à abertura da hipérbole. Também sabemos que a distância dos focos ao centro é
, e a relação entre eles é:
Dado que os focos estão a
unidades do centro e
, vamos encontrar
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação geral da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é: