Calcule os determinantes abaixo.
k)|cccc3 & 3 & 30 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 2 & 10 & 3 & 2|

Passo 1

Beleza, temos que calcular o determinante da seguinte matriz 4x4:
3 & 3 & 30 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 2 & 10 & 3 & 2
Para isso, vamos usar o conceito de determinantes e realizar operações de linha para simplificar a matriz, tornando o cálculo mais fácil. Vamos precisar lembrar como fazer essas operações e como elas afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar deixar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o número 3). Isso vai facilitar a nossa vida depois.
Vamos começar subtraindo R2 = R2 - (23)R1 da primeira linha da segunda linha para zerar o elemento (2,1):
2 - (23 times 3) = 2 - 2 = 0
Calculando cada elemento da nova segunda linha:
2 - (23 times 3) = 2 - 2 = 0
0 - (23 times 30) = 0 - 20 = -20
-2 - (23 times 5) = -2 - 103 = -163
3 & 3 & 30 & 5 0 & 0 & -20 & -163 4 & 1 & -3 & 0 2 & 10 & 3 & 2
Agora a matriz fica assim:

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para a terceira e quarta linhas, eliminando os elementos abaixo do 3 na primeira coluna.
Para a terceira linha:
R3 = R3 - (43)R1
Calculando:
4 - (43 times 3) = 4 - 4 = 0
1 - (43 times 3) = 1 - 4 = -3
-3 - (43 times 30) = -3 - 40 = -43
0 - (43 times 5) = 0 - 203 = -203
Para a quarta linha:
R4 = R4 - (23)R1
Calculando:
2 - (23 times 3) = 2 - 2 = 0
10 - (23 times 3) = 10 - 2 = 8
3 - (23 times 30) = 3 - 20 = -17
2 - (23 times 5) = 2 - 103 = -43
Agora a matriz está assim:
3 & 3 & 30 & 5 0 & 0 & -20 & -163 0 & -3 & -43 & -203 0 & 8 & -17 & -43

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos deixar zeros abaixo do elemento (3,2), que é -3. Para isso, vamos ajustar as linhas 3 e 4.
Primeiro, vamos trocar a segunda e terceira linhas para ter um elemento diferente de zero na posição (2,2):
Troca R2 rightarrow R3
Matriz após a troca:
3 & 3 & 30 & 5 0 & -3 & -43 & -203 0 & 0 & -20 & -163 0 & 8 & -17 & -43

Passo 5

Vamos agora eliminar o elemento (4,2), que é 8, usando a segunda linha. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por R4 = R4 - (8-3)R2 e subtrair da quarta linha:
0 - (8-3 times 0) = 0
Calculando cada elemento da nova quarta linha:
8 - (8-3 times (-3)) = 8 - 8 = 0
-17 - (8-3 times (-43)) = -17 - 3443 = -3953
-43 - (8-3 times (-203)) = -43 - 1609 = -1969
3 & 3 & 30 & 5 0 & -3 & -43 & -203 0 & 0 & -20 & -163 0 & 0 & -3953 & -1969
Agora a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a matriz tornando-a triangular superior. Já temos zeros abaixo da diagonal principal. Agora, para calcular o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal:
Determinante = 3 times (-3) times (-20) times (-1969)
Calculando passo a passo:
3 times (-3) = -9
-9 times (-20) = 180
180 times (-1969) = -352809 = -3920

Resposta

O determinante da matriz é .

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