Calcule os determinantes abaixo.

Passo 1

Beleza, temos que calcular o determinante da seguinte matriz 4x4:
Para isso, vamos usar o conceito de determinantes e realizar operações de linha para simplificar a matriz, tornando o cálculo mais fácil. Vamos precisar lembrar como fazer essas operações e como elas afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar deixar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o número 3). Isso vai facilitar a nossa vida depois.
Vamos começar subtraindo da primeira linha da segunda linha para zerar o elemento (2,1):
Calculando cada elemento da nova segunda linha:
Agora a matriz fica assim:

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para a terceira e quarta linhas, eliminando os elementos abaixo do 3 na primeira coluna.
Para a terceira linha:
Calculando:
Para a quarta linha:
Calculando:
Agora a matriz está assim:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos deixar zeros abaixo do elemento (3,2), que é -3. Para isso, vamos ajustar as linhas 3 e 4.
Primeiro, vamos trocar a segunda e terceira linhas para ter um elemento diferente de zero na posição (2,2):
Matriz após a troca:

Passo 5

Vamos agora eliminar o elemento (4,2), que é 8, usando a segunda linha. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por e subtrair da quarta linha:
Calculando cada elemento da nova quarta linha:
Agora a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a matriz tornando-a triangular superior. Já temos zeros abaixo da diagonal principal. Agora, para calcular o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal:
Calculando passo a passo:

Resposta

O determinante da matriz é .

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Se e , determinar
a) Determinar uma base do em relação à qual a matriz do operador é diagonalizável.
b) calcular ;
Mostre que ísubanel de .