b) calcular ;

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que transforma vetores em para . O enunciado nos dá as imagens dos vetores da base canônica:
Nosso objetivo aqui é calcular . Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades nos permitem calcular de qualquer vetor sabendo apenas as imagens dos vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base canônica:
Usando a linearidade da transformação , podemos escrever:

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos:
Agora, vamos multiplicar cada vetor pela constante:

Passo 5

Finalmente, somamos todos esses vetores:

Resposta

Portanto, .

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Calcule os determinantes abaixo.
Se e , determinar
Mostre que ísubanel de .
Calcular:
b)