T(1,0,0)=(2,1), T(0,1,0)=(-1,0) e T(0,0,1)=(1,-2)
b) calcular T(3,4,5);

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T(1,0,0) = (2,1), T(0,1,0) = (-1,0), T(0,0,1) = (1,-2) que transforma vetores em para . O enunciado nos dá as imagens dos vetores da base canônica:
Nosso objetivo aqui é calcular . Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades nos permitem calcular de qualquer vetor sabendo apenas as imagens dos vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor (3,4,5) = 3(1,0,0) + 4(0,1,0) + 5(0,0,1) como uma combinação linear dos vetores da base canônica:
T(3,4,5) = 3T(1,0,0) + 4T(0,1,0) + 5T(0,0,1)
Usando a linearidade da transformação , podemos escrever:

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos:
T(3,4,5) = 3(2,1) + 4(-1,0) + 5(1,-2)
Agora, vamos multiplicar cada vetor pela constante:
3(2,1) = (6,3) 4(-1,0) = (-4,0) 5(1,-2) = (5,-10)

Passo 5

Finalmente, somamos todos esses vetores:
(6,3) + (-4,0) + (5,-10) = (6 - 4 + 5, , 3 + 0 - 10) = (7, -7)

Resposta

Portanto, .

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