a) Determinar uma base do em relação à qual a matriz do operador é diagonalizável.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente encontrar uma base de que faça a matriz do operador ser diagonalizável. Isso está ligado à Álgebra Linear, mais especificamente à diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e como esses conceitos ajudam a diagonalizar uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se a gente conseguir encontrar uma base formada por autovetores dessa matriz. Em outras palavras, precisamos achar dois vetores que, quando aplicados ao operador , apenas se esticam (ou encurtam) sem mudar de direção.
Passo 3
Para encontrar esses autovetores, vamos precisar calcular os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Resolver essa equação vai nos dar os autovalores.
Passo 4
Depois de encontrar os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos o sistema:
Isso nos dá os autovetores e .
Passo 5
Com os autovetores em mãos, a base que procuramos será formada por esses vetores. Ou seja, a base é a base de na qual a matriz de é diagonalizável.
Resposta
Portanto, uma base de na qual a matriz do operador é diagonalizável é formada pelos autovetores e correspondentes aos autovalores de . A base é .