a) Determinar uma base do
em relação à qual a matriz do operador
é diagonalizável.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente encontrar uma base de
que faça a matriz do operador
ser diagonalizável. Isso está ligado à Álgebra Linear, mais especificamente à diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e como esses conceitos ajudam a diagonalizar uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se a gente conseguir encontrar uma base formada por autovetores dessa matriz. Em outras palavras, precisamos achar dois vetores que, quando aplicados ao operador
, apenas se esticam (ou encurtam) sem mudar de direção.
Passo 3
Para encontrar esses autovetores, vamos precisar calcular os autovalores de
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Resolver essa equação vai nos dar os autovalores.
Passo 4
Depois de encontrar os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos o sistema:
Isso nos dá os autovetores
e
.
Passo 5
Com os autovetores em mãos, a base que procuramos será formada por esses vetores. Ou seja, a base
é a base de
na qual a matriz de
é diagonalizável.
Resposta
Portanto, uma base de
na qual a matriz do operador
é diagonalizável é formada pelos autovetores
e
correspondentes aos autovalores de
. A base é
.