Encontre uma base e a dimensão do subespaço W de R^3 nos casos seguintes:
(a) W=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de definido por . Isso está no conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais, bases e dimensão. Para resolver, vamos precisar entender o que é um subespaço, como encontrar vetores que geram esse espaço e determinar quantos desses vetores são necessários para formar uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse conjunto é composto por todos os vetores em cujas coordenadas , e somam zero. Isso define uma restrição linear, o que nos indica que é um subespaço vetorial de .

Passo 3

Para encontrar uma base para z = -x - y , precisamos identificar um conjunto de vetores em que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Vamos expressar uma das variáveis em função das outras para facilitar isso. Por exemplo, podemos resolver a equação para :

Passo 4

Agora, podemos expressar qualquer vetor em (x, y, z) = x cdot (1, 0, -1) + y cdot (0, 1, -1) como . Isso significa que podemos escrever:
Aqui, estamos decompondo o vetor como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Os vetores a cdot (1, 0, -1) + b cdot (0, 1, -1) = (0, 0, 0) e a = 0 b = 0 -a - b = 0 são candidatos para formar uma base de . Vamos verificar se eles são linearmente independentes. Se a única combinação linear que resulta no vetor nulo for quando todos os coeficientes são zero, então eles são independentes.
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução para esse sistema é e , o que confirma que os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como encontramos dois vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço , podemos concluir que eles formam uma base para . A quantidade de vetores na base nos dá a dimensão de .

Resposta

A base de é formada pelos vetores e a dimensão de é igual a 2.

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