Encontre todos os valores de lambda para os quais det(A)=0.
A=[cclambda-2 & 1 -5 & lambda+4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os valores de que fazem o determinante da matriz ser igual a zero. Isso está ligado ao conteúdo de determinantes de matrizes e, mais especificamente, à identificação de valores que tornam a matriz singular (ou seja, sem inversa). Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e depois resolver uma equação que surge desse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o determinante da matriz A = lambda - 2 & 1 -5 & lambda + 4 . A matriz dada é:
det(A) = (a cdot d) - (b cdot c)
O determinante de uma matriz é calculado da seguinte forma:
Onde:

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do determinante:
det(A) = (lambda - 2)(lambda + 4) - (1)(-5)
Primeiro, multiplicamos (lambda - 2)(lambda + 4) = lambda^2 + 4lambda - 2lambda - 8 = lambda^2 + 2lambda - 8 por (1)(-5) = -5 :
det(A) = (lambda^2 + 2lambda - 8) - (-5) = lambda^2 + 2lambda - 8 + 5 = lambda^2 + 2lambda - 3
Agora, multiplicamos por :
Substituindo na expressão do determinante:

Passo 4

Queremos que o determinante seja igual a zero:
lambda^2 + 2lambda - 3 = 0
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde lambda = -2 pm raiz162 cdot 1 = -2 pm 42 , e .
Calculando o discriminante ( ):
Agora, calculamos as raízes:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem são e .

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