Calcule os determinantes abaixo.
|cccc3 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 1 0 & 9 & 2 & -3 1 & 7 & 4 & 4|

Passo 1

Então, a gente tem um exercício pra calcular o determinante de uma matriz 4x4. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes. Pra resolver isso, a gente vai precisar saber como expandir determinantes usando cofatores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz que a gente tem:
3 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 1 0 & 9 & 2 & -3 1 & 7 & 4 & 4
Uma boa estratégia é escolher uma linha ou coluna que tenha mais zeros, porque isso facilita os cálculos. Aqui, a primeira linha tem dois zeros, então vamos expandir pelo primeiro linha.

Passo 3

A fórmula para o determinante de uma matriz 4x4 pela primeira linha é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Onde det(A) = a11C11 + a13C13 são os elementos da matriz e são os cofatores. Como a segunda e quarta posições da primeira linha são zeros, esses termos vão zerar, então só precisamos calcular:

Passo 4

Vamos calcular cada cofator:
  1. Para 2 & 1 & 1 9 & 2 & -3 7 & 4 & 4 , removemos a primeira linha e primeira coluna:
C11 = 1 times det 2 & 1 & 1 9 & 2 & -3 7 & 4 & 4
O sinal do cofator é 0 & 2 & 1 0 & 9 & -3 1 & 7 & 4 , então:
C13 = -1 times det 0 & 2 & 1 0 & 9 & -3 1 & 7 & 4
  1. Para , removemos a primeira linha e terceira coluna:
O sinal do cofator é , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes 3x3:
  1. Para det 2 & 1 & 1 9 & 2 & -3 7 & 4 & 4 = 2(2 cdot 4 - (-3) cdot 4) - 1(9 cdot 4 - (-3) cdot 7) + 1(9 cdot 4 - 2 cdot 7) :
= 2(8 + 12) - 1(36 + 21) + 1(36 - 14)
= 2(20) - 1(57) + 1(22)
= 40 - 57 + 22 = 5
det 0 & 2 & 1 0 & 9 & -3 1 & 7 & 4 = 0(9 cdot 4 - (-3) cdot 7) - 2(0 cdot 4 - (-3) cdot 1) + 1(0 cdot 7 - 9 cdot 1)
  1. Para = 0(36 + 21) - 2(0 + 3) + 1(0 - 9) :
= 0 - 6 - 9 = -15
det(A) = 3 times 5 + 1 times (-15) = 15 - 15 = 0
Agora, substituindo os valores dos cofatores:

Resposta

O determinante da matriz dada é 0.

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