Encontre todos os valores de lambda para os quais det(A)=0.
A=[ccclambda-2 & 0 & 0 0 & lambda & 2 0 & 1 & lambda-1]

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar todos os valores de lambda que fazem com que o determinante da matriz A seja igual a zero. Vamos trabalhar com determinantes de matrizes 3x3 e utilizar propriedades de determinantes para resolver o problema.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz A:
A = lambda-2 & 0 & 0 0 & lambda & 2 0 & 1 & lambda-1

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Neste caso, como a matriz tem muitos zeros, a expansão por cofatores será mais simples.

Passo 4

Observamos que a primeira coluna tem dois zeros. Isso facilita a expansão por cofatores, pois simplifica os cálculos. O determinante será o elemento da primeira coluna vezes o determinante da submatriz que resta após remover a primeira linha e a primeira coluna.

Passo 5

Vamos identificar a submatriz:
lambda & 2 1 & lambda-1
O determinante dessa submatriz é calculado da seguinte forma:
det = lambda(lambda - 1) - 2 cdot 1 = lambda^2 - lambda - 2

Passo 6

Agora, multiplicamos esse determinante pelo elemento da primeira coluna da matriz original, que é (lambda - 2):
det(A) = (lambda - 2)(lambda^2 - lambda - 2)

Passo 7

Para encontrar os valores de lambda que tornam o determinante igual a zero, resolvemos a equação:
(lambda - 2)(lambda^2 - lambda - 2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. lambda - 2 = 0 Rightarrow lambda = 2
  2. lambda^2 - lambda - 2 = 0

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática lambda^2 - lambda - 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Portanto, temos:
lambda = 2 ou lambda = -1

Resposta

Os valores de lambda que satisfazem det(A) = 0 são lambda = 2 e lambda = -1.

Exercícios relacionados