Encontre todos os valores de para os quais .

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar todos os valores de que fazem com que o determinante da matriz seja igual a zero. Vamos trabalhar com determinantes de matrizes 3x3 e utilizar propriedades de determinantes para resolver o problema.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz :

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Neste caso, como a matriz tem muitos zeros, a expansão por cofatores será mais simples.

Passo 4

Observamos que a primeira coluna tem dois zeros. Isso facilita a expansão por cofatores, pois simplifica os cálculos. O determinante será o elemento da primeira coluna vezes o determinante da submatriz que resta após remover a primeira linha e a primeira coluna.

Passo 5

Vamos identificar a submatriz:
O determinante dessa submatriz é calculado da seguinte forma:

Passo 6

Agora, multiplicamos esse determinante pelo elemento da primeira coluna da matriz original, que é :

Passo 7

Para encontrar os valores de que tornam o determinante igual a zero, resolvemos a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos:

Resposta

Os valores de que satisfazem são e .

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